Formule goniometriche: 10 ESERCIZI SVOLTI

Formule goniometriche: 10 ESERCIZI SVOLTI! Basta un giorno su questa pagina piena di esercizi svolti di formule goniometriche per prepararsi alla verifica in classe sulla goniometria, uso delle formule goniometriche, e identità goniometriche. Passo dopo passo e con calma vedremo come si utilizzano tutte le formule goniometriche una per una, facendovi vedere vari esercizi svolti!

Indice

• Formule di addizione e sottrazione
• Formule di duplicazione e bisezione
• Espressioni con tutte le formule goniometriche
• Formule di prostaferesi, parametriche e Werner

Iniziamo subito a vedere esercizi svolti formule goniometriche, in particolare iniziamo con quelle di addizione e sottrazione!

Formule goniometriche ADDIZIONE e SOTTRAZIONE
esercizi svolti

---

Esercizio 1. $\sin ( \frac{\pi}{3} + x ) + \cos ( \frac{\pi}{6} + x )$


L’obiettivo è semplificare l’espressione dell’esercizio. Osserviamo prima di tutto l’espressione e confrontiamola con le formule in tabella. Abbiamo un:

$\sin ( \frac{\pi}{3} + x ) = \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\cos ( \frac{\pi}{6} + x ) = \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Quindi come possiamo vedere abbiamo identificato nell’espressione che il problema ci ha dato due formule di addizione del seno e del coseno rispettivamente. A questo punto non dobbiamo fare altro che applicarle ai nostri angoli e l’espressione diventa:

$[ \sin \frac{\pi}{3} \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \sin x ]+ [\cos \frac{\pi}{6} \cos x - \sin\frac{\pi}{6} \sin x ]$

ATTENZIONE: badate bene che gli angoli alfa e beta cambiano ogni volta, osservate bene a quali angoli si riferiscono le formule!

A questo punto, per semplificare ulteriormente l’espressione, ricordiamoci che:

$\begin{cases} \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3} }{2} \\ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1 }{2} \\ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1 }{2} \end{cases}$

Questi valori magari segnateveli in qualche foglietto…sono sempre gli stessi negli esercizi! Quindi l’espressione dopo questo diventa, levando anche le parentesi:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x +\frac{1 }{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x$

Le parentesi sono importantissime da mettere e nell’esercizio successivo capiremo il perchè! Nell’espressione notiamo che il seno va via:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 2 \cdotp \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \sqrt{3} \cos x$

Dove nell’ultimo passaggio notiamo che i due termini sono uguali. Ora altro consiglio:

Come fare a capire se utilizzare le formule di addizione e sottrazione oppure quelle degli archi associati?

Gli archi associati come $\sin (\pi + \alpha) = - \sin \alpha$ hanno al loro interno i 5 angoli principali e “famosi”:

$0, \frac{\pi}{2}, \pi , \frac{3}{2} \pi , 2 \pi$

Mentre le formule di addizione e sottrazione hanno angoli generici ( come $\frac{\pi}{6}$ ) , che non sono fra questi!

Esercizio 2. $\sin ( \frac{\pi}{3} - x ) - \cos ( \frac{\pi}{6} - x )$


In questo esercizio capiremo perché è importantissimo mettere le parentesi! Notiamo, vedendo nella tabella delle formule, che dobbiamo usare le due formule di sottrazione del seno e del coseno. Cioé:

$\sin ( \frac{\pi}{3} - x ) = \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\cos ( \frac{\pi}{6} - x ) = \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Come vedete l’ordine nelle formule è lo stesso, cambiano solo i segni! Applichiamo le formule, mettendo le parentesi.

$[\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta] - [\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta]$

Sostituiamo gli angoli del nostro esercizio sia per il primo pezzo che per il secondo:

$[\sin \frac{\pi}{3} \cos x - \cos \frac{\pi}{3} \sin x ] - [\cos \frac{\pi}{6} \cos x + \sin \frac{\pi}{6} \sin x ]$

Ora ricordandoci i valori di questi angoli noti, detti nell’esercizio di prima otteniamo:

$[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x ] - [\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x ]$

Leviamo le parentesi, ed attenzione! La seconda parentesi ha un segno meno davanti, quindi bisogna cambiare tutti i segni di ciò che c’è dentro! Ecco perché è importante mettere le parentesi, altrimenti non ci si trova.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x$

Il coseno si semplifica perché sono uguali ed opposti, mentre il seno si somma:

$- \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} \sin x = - 2 \cdotp \frac{1}{2} \sin x = - \sin x$

Continuiamo con altri esercizi svolti formule goniometriche!

Esercizio 3. $\cos ( x + \frac{\pi}{4} ) + \cos (-x)$


Riguardo il primo termine dobbiamo chiaramente applicare la formula di addizione del coseno, mentre per il secondo termine abbiamo che esso è invece un angolo associato! Di fatti quest’ultimo se vi ricordate vale:

$\cos (-x) = \cos x$

Mentre al primo applichiamo la formula di addizione del coseno:

$[ \cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} ] + \cos x$

Ricordiamoci adesso un altro paio di angoli noti:

$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2} }{2}$

E quindi:

$\cos x \frac{\sqrt{2} }{2} - \sin x \frac{\sqrt{2} }{2} + \cos x$

Mettiamo a sinistra tale valore, per comodità, e per non confonderci:

$\frac{\sqrt{2} }{2} \cos x - \frac{\sqrt{2} }{2} \sin x + \cos x = (\frac{\sqrt{2} }{2} +1) \cos x - \frac{\sqrt{2} }{2} \sin x$

Per sommare, visto che non sono uguali, abbiamo messo in evidenza il coseno.

$\implies \frac{\sqrt{2} +2}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2} }{2} \sin x$

Esercizio 4. $\cos ( \alpha + 135° ) - \cos ( 225° - \alpha ) + \cos (-\alpha)$


Qui al posto dei radianti, abbiamo degli angoli…l’esercizio non cambia affatto! C’è solo bisogno di usare la calcolatrice dopo e vi farò vedere come. Osserviamo l’espressione: l’ultimo pezzo è l’angolo associato che abbiamo visto anche prima. I primi due bisogna chiaramente applicare la formula di addizione e sottrazione del coseno. Poi in più mettiamo le parentesi sempre!

ATTENZIONE: Nella formula c’è un $\alpha$, ma c’è anche un $\alpha$ nell’espressione, quindi attenti a non confondervi con l’ordine. Cioè nel caso di:

$\cos ( 225° - \alpha ) = \cos (\alpha - \beta )$

E quindi come vedete si può fare confusione, perché in realtà per applicare la formula dobbiamo tenere conto che in questo caso $225° = \alpha$ e $\alpha = \beta$.

Viene fuori:

$[ \cos \alpha \cos 135° - \sin \alpha \sin 135°] - [ \cos 225° \cos \alpha + \sin 225° \sin \alpha] + \cos \alpha$

Adesso prendiamo la calcolatrice e vediamo che:

$\begin{cases} \sin 135° = 0,7... \\ \cos 135° = -0,7... \\ \cos 225° = -0,7...\\ \sin 225° = -0,7... \end{cases}$

In questi casi è utile ricordare in generale due semplici cose che capitano spesso:

$\begin{cases} 0,7...= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0,86... = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Segnatevele che escono spesso! L’espressione diventa:

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha - [ -\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha] + \cos \alpha$

Leviamo la parentesi:

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha +\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha +\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha + \cos \alpha$

Sommiamo separatamente il seno ed il coseno e l’esercizio è concluso!

$(- \frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 ) \cos \alpha = \cos \alpha$

Continuiamo con altri esercizi svolti formule goniometriche!

Esercizio 5. $\tg ( \alpha + \frac{\pi}{3} ) - \tg ( \alpha + \frac{2}{3} \pi )$


Vedendo la parte superiore della tabella, capiamo immediatamente che dobbiamo utilizzare questa volta le formule di addizione della tangente. E’ vero che ci sono delle condizioni di esistenza, ma quelle devono solo interessare le equazioni. Noi applichiamo le formule:

$\frac{ \tg \alpha + \tg \frac{\pi}{3} }{1 - \tg \alpha \tg \frac{\pi}{3} } - \frac{ \tg \alpha + \tg \frac{2}{3} \pi }{1 - \tg \alpha \tg \frac{2}{3} \pi }$

Vediamo sulla calcolatrice i valori della tangente…vi insegno un altro trucchetto: se la vostra calcolatrice funziona a gradi e volete conoscere i gradi fate così. Se per esempio avete $\frac{2}{3} \pi$ sostituite a $\pi$ 180° e vedete cosa esce. In questo caso esce $\frac{2}{3} \cdotp 180° = 120° \implies \tg 120° = -1,7...$ ed il gioco è fatto.

Ricordiamoci il valore tipico della tangente 1,7…=$\sqrt{3}$ segue che:

$\frac{ \tg \alpha + \sqrt{3} }{1 - \sqrt{3} \tg \alpha } - \frac{ \tg \alpha - \sqrt{3} }{1 + \sqrt{3} \tg \alpha }$

Per compattare il tutto, e per rendere più semplice tale espressione, facciamo il minimo comune multiplo:

$\frac{ (\tg \alpha + \sqrt{3} )(1 + \sqrt{3} \tg \alpha) - (\tg \alpha - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3} \tg \alpha) }{ (1 - \sqrt{3} \tg \alpha )(1 + \sqrt{3} \tg \alpha ) }$

Al numeratore svolgiamo i calcoli, mentre al denominatore ricordiamoci della formula della differenza di quadrati.

E quindi:

$\frac{ \tg \alpha + \sqrt{3} \tg^2 \alpha +\sqrt{3} + 3\tg \alpha - \tg \alpha + \sqrt{3}\tg^2 \alpha + \sqrt{3} - 3 \tg \alpha}{ 1 - 3 \tg^2 \alpha }$

Sommando al numeratore viene fuori semplicemente che:

$\frac{2\sqrt{3} \tg^2 \alpha +2\sqrt{3} }{ 1 - 3 \tg^2 \alpha }$

Esercizio 6. $\tg ( x + \frac{\pi}{4} ) + \cotg ( x - \frac{\pi}{4} )$


Abbiamo una tangente…benissimo formula di addizione della tangente! Però poi abbiamo una cotangente…come si fa? La cotangente in pratica è la funzione più inutile che esista…quindi semplicemente ogni volta che la incontriamo in qualsiasi esercizio riscriviamola sempre come tangente, ricordando la definizione:

$\cotg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} \implies \cotg ( x - \frac{\pi}{4} ) = \frac{1}{\tg ( x - \frac{\pi}{4} ) }$

Sostituiamo nell’esercizio:

$\tg ( x + \frac{\pi}{4} ) + \frac{1}{\tg ( x- \frac{\pi}{4} ) }$

Ed ora ci siamo ricondotti similmente all’esercizio precedente, cioè applichiamo solo le formule di addizione e sottrazione della tangente!

$\frac{ \tg x + \tg \frac{\pi}{4} }{1 - \tg x \tg \frac{\pi}{4} } + \frac{1}{\frac{ \tg x - \tg \frac{\pi}{4} }{1 + \tg x \tg \frac{\pi}{4} } }$

Alla calcolatrice notiamo che $\tg \frac{\pi}{4} = \tg 45° = 1$. Nel secondo termine inoltre, essendo una frazione di frazione, riportiamo tutto a numeratore, come segue.

$\frac{ \tg x + 1 }{1 - \tg x } + \frac{1+ \tg x}{ \tg x - 1 }$

Piuttosto che fare il mcm, mettiamo da subito un segno meno in evidenza al primo termine e notiamo che i due sono uguali ed opposti:

$- \frac{ \tg x + 1 }{ \tg x -1 } + \frac{1+ \tg x}{ \tg x - 1 } = 0$

Gli esercizi svolti sulle formule di addizione e sottrazione del seno e coseno e della tangente sono conclusi…ritorneranno nell’ultima parte. Adesso andiamo avanti con altre formule ed altri esercizi svolti! Continuiamo con altri esercizi svolti formule goniometriche!

Formule di duplicazione e bisezione

---

Esercizio 7. $\cos 2x + \frac{1}{2} \frac{\sin^2 2x }{\cos^2 x }$


In questo esercizio vediamo una applicazione delle formule di duplicazione, che in genere basta applicarle, e non ci sono problemi su questo. In questo caso l’unica difficoltà potrebbe essere rappresentata dal secondo termine. A noi però complicarci la vita non sta bene, quindi lo riscriviamo prima in una forma più semplice per poi poter applicare le formule.

$\cos 2x + \frac{1}{2} \frac{ \sin 2x \cdotp \sin 2x }{\cos^2 x }$

In questo modo applicare la formula del seno è molto più immediato! Comunque, ripetiamo un secondo le formule di duplicazione che andremo ad usare adesso:

$\begin{cases} \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \\ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \end{cases}$

E quindi la nostra espressione ora diventa:

$\cos^2 x - \sin^2 x + \frac{1}{2} \frac{(2 \sin x \cos x) \cdotp (2 \sin x \cos x) }{\cos^2 x }$

$\cos^2 x - \sin^2 x + \frac{1}{2} \cdotp \frac{ 4 \sin^2 x \cos^2 x }{\cos^2 x }$

Semplifichiamo il 2, e il coseno quadro al secondo termine:

$\cos^2 x - \sin^2 x + 2 \sin^2 x = \cos^2 x + \sin^2 x$

Adesso ricordandoci della prima relazione fondamentale della goniometria segue che il risultato è:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Esercizio 8. Sapendo che $\; \cos \alpha = \frac{3}{5} \;$ calcolare il seno, coseno e tangente di $\frac{\alpha}{2}$
con $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$


Questo è un esercizio per vedere come si applicano le formule di bisezione, che richiedono qualche attenzione in più! Allora, il problema ci chiede di calcolare diverse funzioni, noi per comodità iniziamo sempre dal coseno. Iniziamo a scrivere e commentare la formula di bisezione del coseno allora:

$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{ \frac{1 + \cos \alpha }{2} }$

Come vedete c’è un segno $\pm$, quale usare? Per la formula del coseno, dobbiamo vedere dove cade il coseno dell’angolo $\frac{\alpha}{2}$. Come si fa? Allora iniziamo dall’informazione che il problema ci dà: che $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, cioè l’angolo sta nel primo quadrante e noi andiamo a disegnare un qualsiasi angolo che cade nel primo quadrante (sempre con alla base una circonferenza goniometrica). Dopo di che, come in figura seguente, disegniamo la metà di questo angolo, ossia $\frac{\alpha}{2}$. Poi proiettiamo tale angolo sulla x per ottenere il coseno. Adesso vediamo il segno di tale coseno. Il coseno è positivo? Prendiamo il segno + nella formula!

Quindi come vedete il coseno di $\frac{\alpha}{2}$ è positivo, e quindi prendiamo il segno +. Quindi:

$\implies \cos \frac{\alpha}{2} = + \sqrt{ \frac{1 + \frac{3}{5} }{2} } = \sqrt{ \frac{ \frac{8}{5} }{2} }$

$=\sqrt{ \frac{8}{5} \cdotp \frac{1}{2} } = \sqrt{\frac{4}{5} } = \frac{2}{\sqrt{5} }$

Adesso facciamo la stessa cosa per il seno, vediamo anche in questo caso che la proiezione della metà dell’angolo al primo quadrante è positiva. Quindi anche per la formula del seno seguente, prendiamo il segno +:

$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{ \frac{1 - \cos \alpha }{2} }$

Di conseguenza:

$\implies \sin \frac{\alpha}{2} = + \sqrt{ \frac{1 - \frac{3}{5} }{2} } = \sqrt{ \frac{\frac{2}{5} }{2} }$

$= \sqrt{ \frac{2}{5} \frac{1}{2} } = \frac{1}{\sqrt{5} }$

Adesso passiamo al calcolo della tangente invece. Ricordando la definizione della tangente, per vedere se la tangente di $\frac{\alpha}{2}$ è positiva o negativa dobbiamo disegnare la circonferenza goniometrica, l’angolo alfa, poi la metà di tale angolo e proiettare questa volta sulla retta tangente! Come in figura seguente.

Anche in questo caso la tangente è positiva, quindi prendiamo il segno + nella formula.

$\tg \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{ \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha } }$

Per ciò detto appena:

$\implies \tg \frac{\alpha}{2} = + \sqrt{ \frac{1- \frac{3}{5} }{1 + \frac{3}{5} } } = \sqrt{ \frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}} }$

$=\sqrt{ \frac{2}{5} \frac{5}{8} } = \sqrt{ \frac{1}{4} } = \frac{1}{2}$

Le altre formule, a mio parere non c’è bisogno di esercitarsi, bisogna solo applicarle. Quindi nella prossima sezione vedremo degli esercizi svolti di espressioni con tutte le formule insieme. Continuiamo con altri esercizi svolti formule goniometriche!

Espressioni con formule goniometriche

Esercizio 9. $\tg (\alpha + \frac{\pi}{4} ) - \frac{ \cos 2\alpha }{1 - 2 \sin^2 \alpha }$


I segreti per risolvere esercizi delle espressioni con formule goniometriche senza sbagliare sono:

• Mettere le parentesi quando ci sono segni meno
• Fare un passaggio alla volta
• Non confondersi tra angoli associati e formule di addizione e sottrazione
• Applicare tutte le formule goniometriche possibili, ma se l’esercizio inizia a diventare troppo complicato e non c’è nessuna semplificazione, tornate indietro e rifate: avrete sbagliato sicuramente qualcosa

Detto questi piccoli consigli, osserviamo l’espressione: per la tangente applichiamo la formula di addizione, per il coseno la formula di duplicazione. Poi basta perché il seno è un seno normale semplicemente elevato al quadrato.

$\frac{ \tg \alpha + \tg \frac{\pi}{4} }{ 1 - \tg \alpha \cdotp \tg \frac{\pi}{4} } - \frac{ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha }{1 - 2 \sin^2 \alpha }$

Vediamo sulla calcolatrice che $\tg \frac{\pi}{4} = \tg 45° = 1$

E quindi:

$\frac{ \tg \alpha +1 }{ 1 - \tg \alpha } - \frac{ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha }{1 - 2 \sin^2 \alpha }$

Adesso dobbiamo trovare un modo per semplificare ulteriormente il secondo termine: notiamo che ci sono solamente seno e coseno al quadrato, e quindi utilizzando:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha= 1$

Possiamo scrivere tutto in termini di una unica funzione, ad esempio in funzione del seno.

$\cos^2 \alpha = 1- \sin^2 \alpha$

Sostituiamo nell’espressione:

$\frac{ \tg \alpha +1 }{ 1 - \tg \alpha } - \frac{ 1- \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha }{1 - 2 \sin^2 \alpha }$

$\frac{ \tg \alpha +1 }{ 1 - \tg \alpha } - \frac{ 1- 2\sin^2 \alpha }{1 - 2 \sin^2 \alpha }$

Ed ora senza fare troppi calcoli è tutto più facile! Numeratore e denominatore sono uguali e quindi si semplificano!

$\frac{ \tg \alpha +1 }{ 1 - \tg \alpha } - 1$

Ora per compattare il tutto facciamo il minimo comune multiplo:

$\frac{ \tg \alpha +1 - (1 - \tg \alpha ) }{ 1 - \tg \alpha }$

$\frac{ \tg \alpha +1 - 1 + \tg \alpha }{ 1 - \tg \alpha } = \frac{ 2 \tg \alpha }{ 1 - \tg \alpha }$

Abbiamo concluso l’esercizio, abbiamo reso l’espressione in una forma compatta e più semplice!

Esercizio 9. $\sqrt{2} \cos ( \frac{\pi}{4} + \alpha ) - \tg ( \pi -\alpha ) \cdotp \cos \alpha$


Il primo termine è un coseno dove dobbiamo applicare la formula di addizione del coseno (attenti lì a mettere la parentesi mi raccomando), poi abbiamo una tangente che è un angolo associato!

$\tg ( \pi -\alpha ) = - \tg \alpha$

Mentre il primo termine coseno:

$\cos ( \frac{\pi}{4} + \alpha ) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha$

Sostituiamo il tutto nella nostra amata espressione!

$\sqrt{2} ( \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha ) - \tg \alpha \cdotp \cos \alpha$

Ricordando che $\cos \frac{\pi}{4}= \sin \frac{\pi}{4}= \frac{\sqrt{2} }{2}$

Segue che:

$\sqrt{2} ( \frac{\sqrt{2} }{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2} }{2} \sin \alpha ) - \tg \alpha \cdotp \cos \alpha$

Moltiplichiamo con la parentesi, poi scriviamo la tangente nella sua definizione in seno e coseno.

$\frac{2 }{2} \cos \alpha - \frac{2 }{2} \sin \alpha - \frac{ \sin \alpha }{\cos \alpha } \cos \alpha$

$\cos \alpha - \sin \alpha - \sin \alpha = \cos \alpha$

Continuiamo con altri esercizi svolti formule goniometriche!

Esercizio 10. $\sec \alpha \cdotp \cos 3\alpha +3 -4 \cos 2 \alpha$


Partendo da sinistra osserviamo una funzione secante, ricordando la sua definizione possiamo sostituire il valore:

$\sec \alpha = \frac{1}{ \cos \alpha }$

Poi osserviamo un $\cos 3\alpha$ e per questo non c’è nessuna formula! Come fare? Quando abbiamo questo tipo di angoli, cioè con all’interno ad esempio anche un $\cos 4\alpha$ ecc. bisogna sfruttare le formule di addizione del coseno. Cioè noi possiamo chiaramente scrivere come segue:

$\cos 3\alpha = \cos (\alpha + 2\alpha)$

E proprio su quest’ultima vi si può utilizzare la formula di addizione del coseno, quindi verrebbe:

$\cos (\alpha + 2\alpha)= \cos \alpha \cos 2\alpha - \sin \alpha \sin 2\alpha$

Iniziamo a sostituire tutto nell’espressione:

$\frac{1}{ \cos \alpha } \cdotp (\cos \alpha \cos 2\alpha - \sin \alpha \sin 2\alpha) +3 -4 \cos 2 \alpha$

Prima di andare a moltiplicare la frazione per la parentesi è cosa intelligente scrivere il:

$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\frac{1}{ \cos \alpha } \cdotp (\cos \alpha \cos 2\alpha - \sin \alpha 2 \sin \alpha \cos \alpha) +3 -4 \cos 2 \alpha$

E cioè:

$\frac{1}{ \cos \alpha } \cdotp (\cos \alpha \cos 2\alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha) +3 -4 \cos 2 \alpha$

In questo modo, senza toccare nient’altro, adesso moltiplicando per la frazione possiamo semplificare entrambi i coseni!

$\cos 2\alpha - 2 \sin^2 \alpha +3 -4 \cos 2 \alpha$

Quindi come vedete non è necessario utilizzare tutte le formule fin da subito!

$- 2 \sin^2 \alpha +3 -3 \cos 2 \alpha$

Adesso applichiamo la formula di duplicazione del coseno! Noi dobbiamo sempre cercare di trovare la via più semplice!

$- 2 \sin^2 \alpha +3 -3 (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha )$

$- 2 \sin^2 \alpha +3 -3\cos^2 \alpha +3 \sin^2 \alpha$

Il coseno tramite la prima relazione fondamentale della goniometria lo scriviamo in funzione di seno, così possiamo sommare tutto:

$- 2 \sin^2 \alpha +3 -3(1 - \sin^2 \alpha )+3 \sin^2 \alpha$

$- 2 \sin^2 \alpha +3 -3 +3 \sin^2 \alpha +3 \sin^2 \alpha$

Sommiamo e finiamo l’esercizio.

$4 \sin^2 \alpha$

Vediamo un attimo in una tabella tutte le altre formule goniometriche cui non serve molto esercitarsi, semplicemente quando capiteranno applicatele. Le riassumiamo un secondo qui giù. Importante è sapere che le formule parametriche servono solo per le equazioni goniometriche, eccole!

Altre formule goniometriche TABELLA

---

Questo capitolo è concluso! Se volete continuare ad esercitarvi per la verifica in classe eccovi a voi altri esercizi svolti sulle identità goniometriche, equazioni goniometriche elementari, equazioni goniometriche, disequazioni goniometriche ecc.

Trovate altre centinaia di esercizi svolti e spiegati sia di matematica che di altro ancora!



Per approfondire:
https://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria


Formule goniometriche esercizi svolti

Espressioni
con angoli
associati

Identità
goniometriche
esercizi