Funzioni: definizione, dominio e codominio, ed esempi pratici
Funzioni: definizione, dominio e codominio, ed esempi pratici. In questa pagina spiegheremo con calma e passo dopo passo, in maniera ordinata, le funzioni. Questo è un argomento che sembra banale e semplice, ma non lo è. Esso è spiegato molto spesso in modo confusionario nei libri e su altri siti, commettendo anche errori. Vediamo di rendere tutto più chiaro!
Indice
Iniziamo subito, vi invito a leggere il tutto con calma, perché ce n’è bisogno su questo delicato argomento. Ma una volta capito è fatta!
Funzioni: definizione
Ok, ma cosa significa in pratica tutto questo? Questa definizione l’abbiamo letta tante volte nei libri, ma cosa vuol dire? Chi sono A e B? Quali elementi ci sono dentro i due insiemi? Cosa è in concreto una funzione? A tutte queste domande, ed altre, risponderemo in questa pagina con calma.
L’insieme di partenza è A. Esso è un insieme, quindi una collezione di oggetti: questi oggetti sono spesso dei numeri. Questi numeri possono essere di vario tipo, ad esempio possono essere numeri reali, numeri interi, numeri naturali, o anche un set di numeri qualsiasi. La scelta precisa degli oggetti di A non dipende da noi, ma ci viene data dal libro, poiché dipende dalla particolare funzione.
Per esempio, l’insieme A può essere il seguente: A=\{1,2,3,4...\} , quindi una collezione di numeri naturali.
Gli oggetti dell’insieme A rappresentano una sorta di “input“. Cioè immaginiamo di mettere questi numeri dentro una scatola (dopo c’è un’immagine per capire il tutto).
Questa scatola è la funzione, essa “manipola” questi numeri per farli diventare qualcos’altro. Ad esempio questa scatola può avere la funzione di raddoppiare i numeri che vengono dall’input. Farà dunque uscire altri numeri in “output”. Per esempio entra un 1 come “input”, la funzione lo raddoppia, esce 2 come “output”.
L’insieme di arrivo B è a sua volta un insieme, quindi un’altra collezione di oggetti. Gli oggetti di B sono dei numeri che contengono gli “output”. Badate bene: B non è formato dagli esatti numeri “output” che escono, ma da un qualsiasi insieme che contiene i numeri che possono uscire fuori. Può essere ad esempio il seguente insieme: B=\{-2,-1,0,1,2,3,4...\} . Di fatti se “entra” un 1 da A, la funzione raddoppia questo 1 e fa uscire 2 in B. L’oggetto 2 sta in B come vedete: l’insieme di arrivo B contiene quindi tutto ciò che esce, ed anche altri numeri in generale. Questo è un concetto che i libri non spiegano molto bene a parer mio, quindi vi consiglio di prestare attenzione su questa cosa.
Ecco la schematizzazione di come lavora una funzione che raddoppia.
Adesso arriviamo al dunque: una funzione associa ad ogni numero di A un solo numero di B. Ad esempio, come vedete al numero 1 dell’insieme A viene associato un unico oggetto, che è il numero 2 dell’insieme B…e nessun altro numero! Cioè dall’oggetto di A parte una sola freccia. In tal caso, per indicare questo procedimento, scriveremo:
f: \; A \; \to \; B
Come potete vedere rimangono esclusi degli oggetti di B, non fa nulla. L’insieme B deve contenere almeno gli oggetti “output” che escono, e magari anche altri numeri…non ci interessa.
Considerando un altro esempio, chiaramente può anche capitare che tutti gli oggetti di B vengano occupati.
La cosa importante è che tutti i numeri di A vengono collegati. Cioè non devono rimanere degli oggetti di A da soli. Il seguente collegamento non rappresenta una funzione ad esempio.
Questa seguente invece sì che è una funzione: ogni elemento di A è collegato con un altro elemento di B. Non importa se più oggetti di A scelgano lo stesso oggetto di B. Basta che dal numero di A parte una sola freccia!
Adesso che abbiamo capito come lavora una funzione, cerchiamo di capire meglio il ruolo dei due insiemi A e B.
Chi sono i due insiemi A e B?
Ora che abbiamo introdotto l’argomento a sufficienza, cerchiamo di capire meglio chi sono i due insiemi A e B e come vengono chiamati.
L’insieme A di partenza è detto dominio. L’insieme B di arrivo è detto codominio.
Solamente alcuni oggetti di B però vengono “scelti” ed inclusi nella funzione. Le frecce di fatti arrivano solo ad alcuni oggetti di B. L’insieme di tali oggetti è detto immagine della funzione: ossia un sottoinsieme del codominio.
Im (f) \subseteq codom (f)
Nei libri si fa molta confusione e di solito scrivono il contrario. Fanno disordine anche con le denominazioni: vi lasciamo dunque la lista dei sinonimi che possono comparire (se volete conferma cercate in inglese e l’avrete):
- Dominio = controimmagine = variabili indipendenti
- Codominio = variabili dipendenti
Adesso facciamo degli esempi pratici e cerchiamo di comprendere ancora di più cosa sono le funzioni e chi sono gli insiemi dominio, codominio e immagine sugli assi cartesiani.
Le funzioni reali
All’inizio abbiamo detto che gli insiemi A e B possono essere insiemi qualsiasi, quindi: numeri naturali, interi, reali ecc.
f: A \to B
Al liceo le funzioni che si studiano sono le funzioni reali, cioè con A e B che sono numeri reali. Mettiamo l’insieme A (dominio) sull’asse x. Mettiamo l’insieme B (codominio) sull’asse y (il codominio ce lo dice l’esercizio), e poi solo quelli che vengono associati sono l’immagine. La funzione f sarà il grafico.
Perché il dominio sta in genere solo in una parte dell’asse x? L’insieme A, quindi il dominio, è formato da oggetti che devono essere associati a qualcosa per forza, ricordate la definizione di funzione e gli esempi fatti prima! Di conseguenza non ci possono essere punti al di fuori di tale dominio cui non si associa nulla.
Quello che cambia caso per caso è l’immagine, ed è questo fondamentale. In una funzione sono fondamentali dominio ed immagine! Il codominio è un insieme che non serve a granché negli esercizi. Però per comodità al Liceo fanno coincidere codominio e immagine spesso. Quando trovate l’esercizio con scritto “trovate il codominio” intendono di trovare l’immagine per esempio, ma essendo che li fanno coincidere li trattano alla stessa maniera. Potete anche vedere il sito MathIsFun per ottenere fiducia e sicurezza in ciò che stiamo dicendo.
Per rappresentare gli insiemi delle funzioni si usa la seguente notazione, che comprende dominio ed immagine:
f: dom (f) \to Im (f)
Per esplicitare che tipo di funzione è invece, si utilizza la seguente notazione:
f: x \in dom (f) \longmapsto y=f(x)
Vediamo adesso un bel po’ di esempi per consolidare il tutto!
Esempi di funzioni reali
Per rappresentare le funzioni vengono usate queste due notazioni, una specifica gli insiemi, l’altra la funzione in sè. (In questi esempi faremo coincidere immagine e codominio, come fanno i libri).
f: dom (f) \to Im (f)
f: x \in dom (f) \longmapsto y=f(x)
Esempio 1.
f: [0, + \infin [ \to [0,+ \infin [
f:x \in [0, + \infin [ \longmapsto y=\sqrt{x}
Esempio 2.
f: \Reals \to ] 0,+ \infin [
f: x \in \Reals \longmapsto y= e^x
Esempio 3.
f: \Reals \to \Reals
f: x \in \Reals \longmapsto y=x
Questo è un argomento da non sottovalutare affatto. Visto che è un argomento delicato, rileggete anche. Anche molti studenti di Ingegneria o Matematica sottovalutano la base della matematica stessa, ossia Analisi 1. Le basi sono fondamentali, altrimenti potrebbero nascere dei problemi mano mano che l’anno va avanti. Altri consigli su come superare questo esame su questa pagina.
La pagina è conclusa. Trovate altri centinaia di argomenti di matematica, geometria analitica e geometria! Continuate a supportare il nostro sito!
suriettiva
iniettiva
