Funzione continua e continuità in un punto

Funzione continua e continuità in un punto: in questa pagina vedremo cosa la definizione e cosa significa che una funzione è continua. Mostreremo degli esempi e dei piccoli esercizi svolti con il loro procedimento.

Indice

• Funzione continua in un punto
• Funzione non continua in un punto
• Esempi di funzioni continue in un punto
• Funzioni continue nel dominio

Iniziamo subito a vedere il significato e la definizione di continuità in un punto!

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Funzione continua in un punto

Per capire cosa significa davvero che una funzione è continua in un punto, mostriamo il seguente esempio. Consideriamo una certa funzione f(x). Nel suo dominio, alla componente $x_0$ vi corrisponde la componente $y_0$ (detto anche $f(x_0)$) di un certo punto P.

Quello che notiamo è che se io calcolo il limite sinistro di f(x) in $x_0$, il valore di tale limite sarà proprio $f(x_0)$!

$\lim\limits_{x \to x_0 ^- } f(x) = f(x_0)$

Cosa significa questo? Fare il limite sinistro significa che la x va verso il punto $x_0$ da sinistra percorrendo il percorso della f(x) e, come vedete dall’immagine seguente, il limite (la freccetta) va a ricadere proprio sul punto P, cui corrisponde il valore di $f(x_0)$.

Anche se calcoliamo il limite destro, accade la stessa cosa: ossia la funzione f(x) anche da destra (la freccetta) ricade su punto P cui corrisponde sempre $f(x_0)$!

Una funzione che possiede tale caratteristica si dice che è continua nel punto $x_0$. In formule è equivalente a dire che:

Queste formule sopra sono importanti, perché vi serviranno negli esercizi. Lo stesso significato si può esprimere anche in un modo più formale:

Ciò significa che preso un qualsiasi numero piccolo $\epsilon$ (ad esempio 0,1), prendiamo un intorno di $x_0$ di raggio 0,1. In questo intorno per una qualsiasi x cui corrisponde f(x), la f(x) ricadrà vicino a $f(x_0)$, al massimo con una distanza appunto di $\epsilon$.

Per capire ancora meglio il tutto, è necessario a questo punto vedere allora quando si ha a che fare con funzioni non continue in un punto!

Funzione non continua in un punto

Ora che abbiamo visto cosa significa funzione continua in un punto, a questo punto rafforziamo tale concetto mostrando esempi in cui una funzione non lo è. Abbiamo detto che una f(x) presenta continuità in un punto se:

Che in parole povere significa che la freccetta, sia che parte da sinistra che da destra verso $x_0$, sempre va a finire nello stesso punto P di componenti $(x_0 , f(x_0) )$.

Quindi, quando una funzione non è continua in un punto? Quando la formula della continuità in un punto non è verificata, ossia se:

E questo cosa significa? Significa che la freccetta va a ricadere in un punto diverso, a seconda che parte da sinistra o da destra!

Vediamo alcuni esempi pratici, con calcoli per vedere come fare.

Esempi di funzioni continue in un punto

Esempio 1. Abbiamo la funzione $f(x) = x^3 + 1$, vediamo se la f(x) è continua in $x_0 = 2$.

Per verificare che una funzione sia continua in un punto, dobbiamo utilizzare la formula con i limiti:

Calcoliamo il limite sinistro:

$\lim\limits_{x \to x_0 ^- } f(x) = \lim\limits_{x \to 2^- } x^3 -1 = (2^-)^3 -1 = 8-1=7$

Calcoliamo il limite sinistro:

$\lim\limits_{x \to x_0 ^+ } f(x) = \lim\limits_{x \to 2^+ } x^3 -1 = (2^+)^3 -1 = 8-1=7$

Come vediamo il limite sinistro e destro coincidono (cioè se vado da sinistra o da destra sempre a 7 arrivo). E di conseguenza la funzione è continua in tale punto. Ossia il cammino per arrivarci è “continuo, lineare”. Di fatti il grafico della funzione f(x) è il seguente.

Esempio 2. Abbiamo la funzione $f(x) = \ln (x+1)$, vediamo se la f(x) è continua in $x_0 = 0$.

Come detto prima, dobbiamo verificare che il limite sinistro e destro coincidano.

Calcoliamo quello sinistro:

$\lim\limits_{x \to x_0 ^- } f(x) = \lim\limits_{x \to 0^- } \ln (x+1) = \ln (0^- +1) = \ln 1 = 0$

E poi quello destro:

$\lim\limits_{x \to x_0 ^+ } f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+ } \ln (x+1) = \ln (0^+ +1) = \ln 1 = 0$

I due valori coincidono: la funzione è continua in x=0! E ciò lo si può notare dall’immagine!

Esempio 2. Abbiamo la funzione $f(x) = \begin{cases} 1\;\; se \; \; x<0 \\ x \;\; se \;\; x \ge 0 \end{cases}$, vediamo se la f(x) è continua in $x_0 = 0$.

Calcoliamo il limite sinistro di questa funzione. Il punto è $0^-$ e di conseguenza la f(x)=1 in tale intervallo! (questo perché $0^-$ sta in x<0) Quindi:

$\lim\limits_{x \to x_0 ^- } f(x) = \lim\limits_{x \to 0^- } 1 = 1$

In quello destro il punto è katex]0^+ [/katex] e quindi la funzione è f(x)=x in questo intervallo. Calcoliamo quindi tale limite:

$\lim\limits_{x \to x_0 ^+ } f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+ } x = 0$

I due valori non coincidono, di conseguenza la funzione non è continua nel punto x=0, di fatti guardate l’immagine seguente della funzione!

Adesso estendiamo il concetto di continuità a tutto il dominio, e non più ad un singolo punto.

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Funzioni continue nel dominio

Consideriamo una funzione f(x) definita in un certo dominio [a,b]. Tale funzione si dice continua in tutto il dominio, se f(x) in ogni punto $x_0 \in [a,b]$ è continua. In pratica stiamo semplicemente estendendo il concetto espresso prima: prima avevamo una f(x) continua in un punto, adesso stiamo dicendo che una f(x) è continua in tutto un intervallo se f(x) è continua in qualsiasi punto dell’intervallo.

Per esempio se consideriamo la $f(x)=x$, essa è continua in tutto il dominio suo $]-\infin , + \infin [$ perché per qualsiasi punto, la f(x) è continua in quel punto!

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La pagina è conclusa.
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Per approfondire:
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_continua#:~:text=Una%20funzione%20%C3%A8%20continua%20in%20un%20punto%20se%20e%20solo,continua%20a%20destra%20e%20a%20sinistra.&text=non%20esiste%20relazione%20d’ordine,%22%20o%20una%20%22sinistra%22.

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