Equazioni differenziali lineari primo ordine: FORMULE & ESEMPI
Le equazioni differenziali del primo ordine sono l’ultimo argomento del Liceo, e molto spesso citate ed usate in Università. Questa pagina è adatta quindi a queste due figure di studenti. Qui vedremo formule, esempi svolti, esercizi risolti e tanti consigli per riuscire a trovarsi sempre con la soluzione del libro! Inizieremo con un primo paragrafo che spiega come riconoscere una equazione differenziale lineare del primo ordine; e poi distingueremo due casi.
Indice
- Come riconoscere una equazione differenziale del primo ordine
- CASO 1: Equazione differenziale omogenea
- CASO 2: Equazione differenziale completa
Fatta questa piccola introduzione, immergiamoci nelle equazioni differenziali, concentrandoci su cosa vuol dire primo ordine, e come risolverle.
Come riconoscere una equazione differenziale lineare del PRIMO ORDINE
Partiamo subito dritti al punto: una equazione differenziale lineare è un qualcosa di questo tipo.
![equazione differenziale lineare primo ordine](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2024/01/equazione-differenziale-lineare-primo-ordine.png)
Differenziale vuol dire che compare la derivata y’.
Sul “lineare” non c’è molto bisogno di concentrarci, se si è al Liceo. Se invece volete approfondire questo aspetto cliccate qui.
Invece, del primo ordine significa due cose:
- La derivata è y’ (ipsilon primo), cioè la funzione y derivata una volta
- L’altra y che compare ha come esponente 1.
Sulla x invece non ci sono limitazioni, possono essere come vogliono. Vediamo alcuni esempi di equazioni differenziali del primo ordine.
![esempi equazioni differenziali primo ordine](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2024/01/esempi-equazioni-differenziali-primo-ordine.png)
Ora che abbiamo capito come riconoscere una equazione differenziale del primo ordine, vediamo invece alcuni esempi di equazioni differenziali che non sono del primo ordine!
![cosa significa primo ordine](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2024/01/cosa-significa-primo-ordine.png)
Adesso siamo in grado di comprendere le formule per risolvere queste equazioni differenziali! Dobbiamo distinguere due diversi casi:
- Equazioni differenziali omogenee
- Equazioni differenziali complete
CASO 1: Equazione differenziale del primo ordine OMOGENEA
Abbiamo detto che stiamo considerando una generica seguente equazione differenziale del primo ordine:
y' +a(x)y = b(x)
Omogenea significa semplicemente che b(x)=0. Cioè quindi:
y' +a(x)y = 0
Di conseguenza l’equazione è in questo caso la seguente, con la formula risolutiva:
![formula equazione differenziale primo ordine omogenea](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2024/01/formula-equazione-differenziale-primo-ordine-omogenea.png)
Prima di vedere alcuni esercizi svolti usando questa formula, per chi si ricorda un po’ le equazioni differenziali a variabili separabili, avrà notato che questa equazione è proprio a variabili separabili! E di fatti la formula finale viene fuori proprio dal risolvere questa come una equazione differenziale a variabili separabili!
Quindi, se non vi ricordate la formula, basta che vi ricordate il procedimento delle equazioni differenziali a variabili separabili, è proprio lo stesso! Quindi, per chi è interessato, andiamo a dimostrare tale formula:
y' +a(x)y = 0
y' = - a(x)y
Poi, ricordando il significato di y’:
\frac{dy}{dx} = - a(x)y
Essendo a variabili separabili, portiamo tutte le y a sinistra, e le x a destra:
\frac{dy}{y} = - a(x)dx
Integriamo ambo i membri:
\int \frac{dy}{y} = - \int a(x)dx
Il primo integrale, ricordando nella tabella degli integrali, ha come risultato un logaritmo. Il secondo integrale, non sapendo come è fatto a(x) lo lasciamo così com’è, esso dipenderà dall’esercizio.
\ln |y| +c = - \int a(x)dx
\ln |y| = -c - \int a(x)dx
L’obiettivo di queste equazioni è quello di trovare la y, quindi usiamo la formula di risoluzione delle equazioni logaritmiche (poiché y sta dentro un logaritmo ora).
![](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/12/formule-equazioni-logaritmiche.jpg)
|y| = e^{-c- \int a(x)dx }
Per la proprietà delle potenze:
|y| = e^{-c} e^{- \int a(x)dx }
Essendo che quando si risolve questa equazione differenziale, si considera la x come un numero, poiché vogliamo solo la y, questa sarebbe del tipo:
|y| = w \implies y = \pm w
Quindi otteniamo così finalmente:
y =\pm e^{-c} e^{- \int a(x)dx }
Chiamiamo \pm e^{-c} = k una certa costante generica arbitraria, visto che c dall’integrazione è arbitraria, ed otteniamo così:
y = k e^{- \int a(x)dx }
Ora che abbiamo capito quale formula usare, e come si dimostra, veniamo a qualche esempio svolto!
Esempio 1. y' + 3xy = 0
Prima di partire col botto con l’utilizzo della formula, bisogna sempre chiedersi se è questo il caso dell’equazione differenziale del primo ordine, omogenea. Ed effettivamente sì lo è. Questo ve lo dico perché nella verifica in classe ci saranno tutti i tipi di equazioni differenziali, quindi è buona abitudine che vi facciate prima questa domanda. L’equazione è quindi omogenea, ossia del tipo:
y' +a(x)y = 0
Quindi nel nostro caso, la funzione a(x)=3x. Capito questo, dobbiamo quindi usare la formula seguente:
y = k e^{- \int a(x)dx }
Sostituiamo la parte a(x) chiaramente:
y = k e^{- \int 3x \; dx }
L’esercizio si conclude andando a risolvere solo l’integrale, tutto qui. Quindi dobbiamo calcolare esplicitamente l’integrale che compare:
\int 3x \; dx = 3 \frac{x^2}{2}
E mettiamo questo valore al posto dell’integrale:
y = k e^{- 3 \frac{x^2}{2} }
L’esercizio è finito, abbiamo trovato la y. Quindi, nel caso delle equazioni differenziali del primo ordine omogenee, si tratta alla fine di calcolare un integrale!
Esempio 2. y' = \frac{1}{x} y
Questo esercizio è utile, poiché vedremo un paio di cose che potranno servirvi! Partiamo col presupposto che sembra una equazione del tipo omogenea, quindi vogliamo ricondurci a:
y' +a(x)y = 0
Vogliamo capire nel nostro caso chi è a(x). Quindi portiamo tutto a primo membro:
y' - \frac{1}{x} y = 0
Vediamo che c’è un segno meno, invece di un più, quindi nel nostro caso a(x)=- \frac{1}{x} , poiché:
y' + (- \frac{1}{x}) y = 0
Fatto ciò dobbiamo usare la formula risolutiva:
y = k e^{- \int a(x)dx }
Dobbiamo quindi risolvere solo l’integrale.
\int - \frac{1}{x} dx = - \ln |x|
Sostituiamo nella formula, e noteremo una cosa:
y = k e^{- (- \ln |x|) } = k e^{ \ln |x| }
A questo punto siamo giunti al risultato, però ci possiamo ricordare una proprietà molto utile dell’esponenziale e del logaritmo, che in questi esercizi viene fuori abbastanza spesso:
e^{\ln a } = a
Quindi il risultato è molto più semplice e scritto compatto:
y = k |x|
Fatti questi due esempi, più che sufficienti a capire come si risolvono le equazioni differenziali nel caso omogeneo, passiamo al prossimo caso!
CASO 2: Equazione differenziale del primo ordine COMPLETA
Se nel caso omogeneo ponevamo la funzione b(x)=0, qui invece l’equazione differenziale si dice del primo ordine completa, poiché ha anche b(x)! Senza vedere la lunghetta dimostrazione per ricavare la formula finale, passiamo subito al sodo.
![formula equazione differenziale primo ordine completa](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2024/01/formula-equazione-differenziale-completa.png)
Anche in questo caso si tratta solo di risolvere degli integrali, in questo caso dovremo andare a calcolare precisamente sempre due integrali. Vediamo dunque degli esempi subito.
Esempio 1. y' + \frac{y}{x} - x = 0
Essendo y’ e la y con esponente 1, sembra proprio essere una equazione diff. del primo ordine completa, quindi dobbiamo ricondurci innanzitutto a questa forma seguente, per capire chi sono a(x) e b(x):
y' +a(x)y = b(x)
Allora portiamo la x a destra, e poi riscriviamo:
y' + \frac{1}{x}y = x
Scrivendola in questo modo, non abbiamo difficoltà a capire che a(x)= \frac{1}{x} e che b(x)=x!
L’equazione ha come soluzione la formula citata già in precedenza:
y= e^{-\int a(x)dx } [ \int b(x) e^{\int a(x)dx} dx +c ]
Il primo integrale che notiamo, per ben due volte è (vi consiglio sempre di iniziare da questo):
\int a(x)dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln |x|
Fatto questo, passiamo all’integrale:
\int b(x) e^{\int a(x)dx} dx
Dove ovviamente andiamo a sostituire quello all’esponente già calcolato!
\int x e^{\ln |x|} dx
Sfruttando la proprietà molto utile dei logaritmi, che serve tantissime volte in questi esercizi:
e^{\ln a } = a
Quindi otteniamo un integrale molto più semplice da risolvere:
\int x \cdotp |x| dx
Supponiamo che x>0 (per via del fatto che la x sta dentro il logaritmo, per il dominio del logaritmo, possiamo assumere che x>0 e quindi levare il valore assoluto):
\int x\cdotp x dx = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}
Sostituiamo tutto nella formula, abbiamo i due integrali quindi andiamo a finire l’esercizio:
y= e^{-\ln x} [ \frac{x^3}{3} +c ] = e^{\ln x^{-1} } [ \frac{x^3}{3} +c ] = \frac{1}{x}[ \frac{x^3}{3} +c ]
La pagina è conclusa. Speriamo sia tutto stato chiaro. Nel caso aveste dei dubbi ci potete contattare per email! Risponderemo in men che non si dica, e nel caso segnalateci eventuali errori, grazie!