Equazioni goniometriche elementari: 20 ESERCIZI
Equazioni goniometriche elementari: 20 ESERCIZI! Basterà una giornata su questa pagina per capire come si fanno le equazioni goniometriche elementari: sarete pronti per la verifica! Prima di applicarvi su queste, vi consiglio saper fare prima le identità goniometriche. Partiamo con un indice che suddivide gli argomenti di questa pagina.
Indice
- Equazioni elementari con il seno
- Equazioni elementari con il coseno
- Equazioni elementari con la tangente
- Equazioni riconducibili ad elementari
Iniziamo subito con le equazioni goniometriche elementari con esercizi svolti!
Equazioni goniometriche elementari
esercizi con il seno
Esercizio 1. 2 \sin x = \sqrt{3}
Iniziamo come nelle classiche equazioni che avete sempre fatto, ad isolare l’incognita. In questo caso andiamo a dividere tutto per 2 per isolare il seno:
\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}
Ora che il seno è isolato, prendiamo in considerazione la circonferenza goniometrica. Visto che il seno rappresenta la componente dell’angolo sull’asse delle y, tracciamo una retta orizzontale che parte dal punto y=\frac{\sqrt{3}}{2} , come in figura.
![equazioni goniometriche elementari](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/equazioni-goniometriche-elementari.png)
Nell’immagine potete notare due angoli: il primo ce lo darà la calcolatrice, il secondo lo ricaviamo noi. Prendiamo quindi la calcolatrice: premiamo shift e poi seno, ed inseriamo il valore di \frac{\sqrt{3}}{2} . Ci uscirà fuori:
x=60°=\frac{\pi}{3}
A questo punto dobbiamo ricavare l’altro angolo. Come potete vedere dalla figura, si capisce bene che l’altro angolo è 180° – l’angolo calcolato nel primo quadrante:
\pi - \frac{\pi}{3} =\frac{3\pi -\pi}{3} = \frac{2}{3} \pi
Ora, abbiamo le due soluzioni. Ci dobbiamo a questo punto, aggiungere la periodicità della funzione seno per entrambe le soluzioni:
x=\frac{\pi}{3} +2k\pi \lor x= \frac{2}{3} \pi +2k\pi
Quindi, se avete il seno, dovete tracciare una retta che passa sull’asse delle y!
Esercizio 2. \sin x -1= 0
Isoliamo il seno, portando il -1 dall’altra parte, viene:
\sin x = 1
A questo punto. è l’ora di tracciare la circonferenza goniometrica per capire gli angoli soluzione. Come possiamo vedere l’unico punto in cui il seno è 1 è quando l’angolo è:
x=90°= \frac{\pi}{2}
Non c’è nessun altro angolo da ricavare in questo caso, quindi aggiungiamo semplicemente la periodicità per ottenere la soluzione completa dell’esercizio:
x= \frac{\pi}{2} + 2k \pi
Esercizio 3. 2 \sin x -4 = 3
Iniziamo a portare il -4 dall’altra parte:
2 \sin x = 3 +4
2 \sin x = 7
Dividiamo tutto per 2 per isolare il seno:
\sin x = \frac{7}{2}
Otteniamo che il seno è uguale a \frac{7}{2} =3,5
Ma visto che la funzione seno ha sempre valori fra -1 ed 1, è impossibile per qualsiasi angolo che essa sia 3,5. Quindi la soluzione è:
impossibile
Esercizio 4. 2 \sin x = - \sqrt{2}
Dividiamo tutto per 2, ottenendo:
\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}
Prendiamo la circonferenza goniometrica, come prima, e tracciamo una retta orizzontale passante per il punto y = - \frac{\sqrt{2}}{2}
![equazioni goniometriche esercizi](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/equazioni-goniometriche-elementari-seno.png)
Abbiamo visibilmente due angoli come soluzione. Prendiamo la calcolatrice, premiamo shift e poi seno ed inseriamo il valore. Uscirà fuori questa volta un angolo negativo:
x=-45°
Ossia la calcolatrice ci dà l’angolo nel quarto quadrante. Per passare allo stesso angolo ma scritto positivo, basterà aggiungere un angolo giro:
x=-45° +360° = 315°
Per passare ai radianti, utilizziamo la proporzione utilissima che vi consiglio di segnarvi seguente:
360° : 2\pi = 315° : x
x = \frac{2\pi \cdotp 315°}{360°}
Dividiamo per 45 (voi potete dividere mano mano per quello che volete, è uguale):
x = \frac{2\pi \cdotp 7}{8}= \frac{ 7}{4} \pi
A questo punto abbiamo ricavato il primo angolo! Per l’altro angolo, notiamo dalla figura che esso è uguale a:
x=180°+45°= \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5}{4} \pi
E’ IMPORTANTISSIMO VEDERE LA FIGURA E GLI ANGOLI CHE CI SONO PER ARRIVARE ALLA SOLUZIONE!
A questo punto aggiungiamo la periodicità del seno, ed abbiamo concluso l’esercizio.
x= \frac{5}{4} \pi + 2k\pi \lor x=\frac{ 7}{4} \pi + 2k\pi
Continuiamo con le equazioni goniometriche elementari con altri esercizi svolti!
Esercizio 5. 2 \sin \frac{x}{2} = 1
Iniziamo ad isolare il seno, dividendo tutto per 2:
\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}
A questo punto, si procede per sostituzione.
Poniamo t=\frac{x}{2}
\sin t = \frac{1}{2}
E siamo arrivati ad una forma di equazione che conosciamo già!
Prendiamo la circonferenza goniometrica e tracciamo la retta. Prendiamo la calcolatrice ed otteniamo l’angolo nel primo quadrante:
t=30°= \frac{\pi}{6}
Attenzione che qui abbiamo t non x! L’altro lo calcoliamo guardando la figura, e notando che esso è semplicemente:
t=180° - 30° = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi -\pi}{6} = \frac{5}{6} \pi
A questo punto, come fatto per gli altri esercizi aggiungiamo la periodicità del seno ed otteniamo le due soluzioni in t.
t= \frac{\pi}{6} + 2k\pi \lor t= \frac{5}{6} \pi + 2k\pi
Ora però l’esercizio non è finito, dobbiamo ripassare alla variabile iniziale x. Quindi ritorniamo risostituendo il valore:
t=\frac{x}{2}
Sostituiamo nella soluzione.
\frac{x}{2}= \frac{\pi}{6} + 2k\pi \lor \frac{x}{2}= \frac{5}{6} \pi + 2k\pi
Moltiplichiamo tutto per 2, così da avere solo la x da sola.
2\frac{x}{2}= 2\frac{\pi}{6} + 4k\pi \lor 2\frac{x}{2}= 2\frac{5}{6} \pi + 4k\pi
x= \frac{\pi}{3} + 4k\pi \lor x= \frac{5}{3} \pi + 4k\pi
Ed abbiamo concluso l’esercizio!
Esercizio 6. \sin (\frac{\pi}{3} - x) = 0
Come prima, o comunque in generale: quando non avete una x semplice, procedete per sostituzione. Di fatti poniamo:
t= \frac{\pi}{3} - x
\sin t = 0
Disegniamo la circonferenza goniometrica, e ci accorgiamo che il seno è uguale a zero negli angoli 0 e \pi . Questi si alternano di 180° in 180°, e quindi si possono anche scrivere in maniera compatta come:
t=k\pi
A questo punto ritorniamo alla variabile iniziale!
\frac{\pi}{3} - x =k\pi
Isoliamo la x ed otteniamo la soluzione all’esercizio:
x =\frac{\pi}{3} - k\pi
Nella periodicità il segno è indifferente: è per questo che il libro porta come risultato:
x =\frac{\pi}{3} + k\pi
Esercizio 7. 4 \sin x = -1
Questo è un caso un poco diverso dagli altri, ora vedremo perchè. Iniziamo a dividere tutto per 4:
\sin x = - \frac{1}{4}
Ora se provate a trovare l’angolo corrispondente con la calcolatrice, uscirà fuori un angolo negativo strano e non preciso, quindi sarà impossibile passare ai radianti. Quando l’angolo risultante non è ben definito, lo lasciamo in arcseno, nel modo seguente:
x = \arcsin (- \frac{1}{4})
Questo rappresenta l’angolo nel quarto quadrante, visto che l’arcseno è definito nell’intervallo [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].
Per trovare l’altra soluzione, tracciamo come sempre la circonferenza goniometrica, e notiamo come visto più volte che l’altro angolo soluzione è:
x=\pi - \arcsin (- \frac{1}{4})
Perchè abbiamo sottratto e non aggiunto? Perchè dovete considerare che l’angolo \arcsin (- \frac{1}{4}) è un angolo negativo, come ci ha detto la calcolatrice. Ecco perchè abbiamo messo il segno -. Dopo ciò aggiungiamo la periodicità del seno.
x = \arcsin (- \frac{1}{4}) +2k\pi \lor x= \pi - \arcsin (- \frac{1}{4}) +2k\pi
Continuiamo con le equazioni goniometriche elementari con altri esercizi svolti!
Equazioni goniometriche elementari
esercizi con il coseno
Esercizio 9. \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}
Per trovare le soluzioni (angoli) del coseno, andiamo come fatto anche per il seno, a disegnare la circonferenza goniometrica. Però, a differenza del seno, la retta qui deve essere verticale e passante per X=\frac{\sqrt{2}}{2} , come in figura.
![equazioni goniometriche elementari coseno](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/equazioni-goniometriche-elementari-coseno.png)
Notiamo subito che gli angoli del coseno si possono trovare molto facilmente! Questo perchè se calcoliamo l’angolo del primo quadrante con la calcolatrice, essa ci dice che l’angolo è:
x=45°=\frac{\pi}{4}
Vista la simmetria del coseno intorno allo zero, l’altro angolo è lo stesso ma con un segno negativo! E’ molto più semplice!
Di fatti l’altro è:
x=-\frac{\pi}{4}
Aggiungiamo la periodicità del coseno, ed otteniamo in maniera molto compatta la soluzione:
x= \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi
Esercizio 10. 8 \cos x = 1
Dividiamo tutto per 8, ottenendo:
\cos x = \frac{1}{8}
Disegniamo la circonferenza goniometrica e la retta passante per il punto X= \frac{1}{8} . La calcolatrice ci dice un angolo strano, quindi lo rimaniamo così, scrivendolo come un arccoseno.
x =\arccos ( \frac{1}{8} )
L’altro angolo è semplicemente lo stesso, ma con un segno negativo, come detto prima.
x =- \arccos ( \frac{1}{8} )
Aggiungiamo la periodicità e scriviamo in maniera compatta la soluzione:
x =\pm \arccos ( \frac{1}{8} ) +2k\pi
Esercizio 11. \cos (\frac{\pi}{9} - x ) = 0
Questo è un caso molto simile al seno, procediamo per sostituzione. Poniamo:
t=\frac{\pi}{9} - x
\cos t = 0
Vediamo che nella circonferenza goniometrica, il coseno è pari a 0 negli angoli \frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2} , questo lo possiamo scrivere in maniera compatta come:
t=\frac{\pi}{2} + k\pi
Ritorniamo alla variabile x iniziale adesso, risostituendo.
\frac{\pi}{9} - x =\frac{\pi}{2} + k\pi
Isoliamo la x.
- x =- \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{2} + k\pi
Cambiamo di segno tutto.
x = \frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{2} + k\pi
(la periodicità rimane dello stesso segno, è uguale)
x = \frac{11}{18}\pi + k\pi
Esercizio 12. 5 \cos (x-\frac{\pi}{9} ) +3 = 3\cos (x-\frac{\pi}{9} ) +4
Procediamo anche in questo caso ponendo:
t= x-\frac{\pi}{9}
5 \cos t +3 = 3\cos t +4
5 \cos t - 3\cos t = 1
I coseni sono uguali, quindi li posso sommare!
2 \cos t = 1
\cos t = \frac{1}{2}
Disegniamo la circonferenza goniometrica e la retta passante per il punto X = \frac{1}{2}
Il primo angolo ce lo dà la calcolatrice ed è:
t= 60°= \frac{\pi}{3}
Ed il secondo angolo è semplicemente lo stesso ma negativo.
t=-\frac{\pi}{3}
Qui scriviamo la soluzione non in maniera compatta, perchè dovremmo ancora fare altri calcoli!
t= \frac{\pi}{3} +2k\pi \lor t=- \frac{\pi}{3} +2k\pi
Ritorniamo alla variabile iniziale adesso.
x-\frac{\pi}{9} = \frac{\pi}{3} +2k\pi \lor x-\frac{\pi}{9} =- \frac{\pi}{3} +2k\pi
x = \frac{\pi}{3} +\frac{\pi}{9}+2k\pi \lor x =- \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{9} +2k\pi
x = \frac{4\pi}{9} +2k\pi \lor x =- \frac{2\pi}{9}+2k\pi
Continuiamo con le equazioni goniometriche elementari con altri esercizi svolti!
Equazioni goniometriche elementari
esercizi con la tangente
Esercizio 13. \tg x = 1
Il discorso è analogo con le altre due funzioni goniometriche; certamente ci sono alcune differenze che ora vedremo! Disegniamo la circonferenza goniometrica. Qui, andiamo a disegnare una retta tangente all’angolo zero verticale. L’angolo corrispondente sarà dato dal congiungere l’origine con il punto 1 sulla retta tangente, come in figura.
![equazioni goniometriche tangente](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/equazioni-goniometriche-elementari-tangente.png)
La calcolatrice ci dice che l’angolo nel primo quadrante corrispondente è:
x=45°=\frac{\pi}{4}
Per la tangente la cosa bella è che non c’è bisogno di calcolare altre soluzioni! Aggiungiamo semplicemente la periodicità della tangente ed il gioco è fatto!
x=\frac{\pi}{4} +k\pi
Esercizio 14. \tg \frac{x}{4} +1 = 0
Portiamo l’uno dall’altra parte isolando la tangente.
\tg \frac{x}{4} = -1
Essendo un angolo non con sola x, andiamo per sostituzione:
z=\frac{x}{4}
\tg z = -1
La calcolatrice ci dà come risultato un angolo negativo e a noi va benissimo, sulla tangente non ci dobbiamo porre troppi problemi.
z= -45°= - \frac{\pi}{4}
a cui aggiungiamo la periodicità della tangente:
z= - \frac{\pi}{4} +k\pi
Torniamo alla variabile x.
\frac{x}{4}= - \frac{\pi}{4} +k\pi
Moltiplichiamo tutto per 4, e l’esercizio è concluso!
x= -\pi +4k\pi
Esercizio 15. 3\cotg 3x =- \sqrt{3}
Allora non spaventiamoci per la presenza della cotangente, essa non è un problema assolutamente. Facciamo una cosa alla volta, e quindi iniziamo a dividere per 3.
\cotg 3x =- \frac{ \sqrt{3}}{3}
Poi poniamo z=3x, come fatto già tante altre volte.
\cotg z =- \frac{ \sqrt{3}}{3}
A questo punto ricordiamo la relazione fra tangente e cotangente e sfruttiamola, portando l’equazione in termini della tangente.
\cotg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha }
E quindi la nostra equazione diventa:
\frac{1}{\tg z } =- \frac{ \sqrt{3}}{3}
Ora, facciamo il reciproco di tutto, invertendo denominatori e numeratori:
\tg z =- \frac{3 }{\sqrt{3}}
A questo punto siamo arrivati ad una equazione goniometrica elementare con sola tangente! Che sappiamo risolvere! Infatti, disegniamo la circonferenza goniometrica, ed utilizzando la calcolatrice abbiamo che:
z=- \frac{\pi}{3} +k\pi
E torniamo alla variabile iniziale ed il gioco è fatto!
3x=- \frac{\pi}{3} +k\pi
x=- \frac{\pi}{9} +k \frac{\pi}{3}
Esercizio 16. \cotg 2x = 1
Questo è come prima! Provate a farlo voi e poi vedete la soluzione, dai!
Poniamo innanzitutto 2x=z:
\cotg z = 1
Poi sfruttiamo la relazione fra tangente e cotangente citata nell’esercizio precedente, per arrivare ad una equazione si sola tangente che sappiamo risolvere.
\frac{1}{\tg z } = 1
Facciamo il reciproco di tutto; il reciproco di 1 è sempre 1!
\tg z = 1
Vedendo l’angolo alla calcolatrice abbiamo la soluzione:
z= \frac{\pi}{4} + k\pi
2x= \frac{\pi}{4} + k\pi
x= \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}
Continuiamo con le equazioni goniometriche elementari con altri esercizi svolti!
Equazioni goniometriche riconducibili a elementari
Esercizio 17. 2 \cos^2 x - \cos x = 0
Quello che dobbiamo fare è ricondurre queste equazioni a quelle che abbiamo appena visto e che sappiamo risolvere. In questo caso quello che possiamo fare è mettere in evidenza il coseno:
\cos x (2 \cos x - 1 ) = 0
E questa equazione è uguale a zero, se:
\cos x = 0 \lor 2 \cos x - 1 = 0
Svolgiamole separatamente. Iniziamo dalla prima: il coseno è uguale a zero per angoli di 90° o 270° che possiamo scrivere in maniera compatta come:
x = \frac{\pi}{2} + k\pi
Mentre la seconda equazione è:
2 \cos x - 1 = 0
\cos x = \frac{1}{2}
Questa è una equazione goniometrica elementare del coseno, che sappiamo risolvere. Disegniamo la circonferenza goniometrica e ci accorgiamo che i due angoli soluzione sono uguali ma di segno opposto. La calcolatrice ci dà l’angolo del primo quadrante:
x=\frac{\pi}{3}
L’altro è x=-\frac{\pi}{3}
A cui ci aggiungiamo la periodicità e scriviamo come:
x= \pm \frac{\pi}{3} +2k\pi
Ora, uniamo anche l’altra soluzione ed otteniamo:
x = \frac{\pi}{2} + k\pi \lor x= \pm \frac{\pi}{3} +2k\pi
Esercizio 18. 2 \cos^2 x - \sin x -1 = 0
Qui abbiamo un coseno ed un seno, insieme non ci piacciono. Però ricordandoci della prima relazione fondamentale della goniometria, possiamo passare dal coseno a scrivere tutto in funzione del seno.
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x
Andiamo a sostituire ed ci siamo levati da mezzo il coseno!
2 (1 - \sin^2 x) - \sin x -1 = 0
2 - 2 \sin^2 x - \sin x -1 = 0
1 - 2 \sin^2 x - \sin x = 0
Ora procediamo per sostituzione, perchè ponendo t= \sin x esce fuori una equazione di secondo grado!
1 - 2 t^2 - t = 0
2 t^2 + t -1 = 0
Calcoliamo le due soluzioni di questa equazione di secondo grado:
t_{1,2}= \frac{-1 \pm 3}{4} = \frac{1}{2} , -1
Risostituiamo e torniamo al seno! Come potete vedere la sostituzione avviene molto spesso nelle equazioni goniometriche elementari!
\sin x = \frac{1}{2} \lor \sin x = -1
Svolgiamole separatamente. Nel secondo caso che è semplice abbiamo che l’unico angolo per il quale il seno è -1 è:
x = \frac{3}{2} \pi + 2k\pi
Per la prima equazione invece, utilizziamo i metodi usati all’inizio di questa pagina.
\sin x = \frac{1}{2}
Il primo angolo ce lo dà la calcolatrice ed è:
x=\frac{\pi}{6}
L’altro, disegnando una circonferenza goniometrica ci accorgiamo che è:
x=\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5}{6}\pi
Uniamo tutte le soluzioni adesso! Otteniamo:
x = \frac{3}{2} \pi + 2k\pi \lor x=\frac{\pi}{6} +2k\pi \lor \frac{5}{6}\pi + 2k\pi
Esercizio 19. \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0
Questa è difficile. Ma la professoressa ve la potrebbe mettere nel compito, voi sarete preparati però! Qui bisogna sfruttare la formula di prostaferesi seguente:
\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2}
Facciamolo per esempio (voi fate come volete) fra il terzo ed il primo termine dell’equazione ed otteniamo:
2 \sin 3x \cos x + \sin 3x = 0
Mettiamo in evidenza il seno e l’equazione ora con un solo passaggio è diventata più semplice!
\sin 3x (2 \cos x + 1) = 0
Risolviamo il primo pezzo \sin 3x = 0 .
Poniamo z=3x.
\sin z = 0
Il seno è uguale a zero negli angoli:
z= k\pi
3x= k\pi
x= k \frac{\pi}{3}
Ora possiamo passare a studiare il secondo pezzo.
2 \cos x + 1= 0
\cos x = - \frac{1}{2}
che ha come soluzioni:
x = \pm \frac{2}{3}\pi +2k\pi
Unendo le due soluzioni, notiamo che il tutto è compreso in:
x= k \frac{\pi}{3}
Esercizio 20. \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x +\cos 5x = 0
Anche in questo caso utilizziamo la formula di prostaferesi seguente:
\cos p + \cos q = 2 \cos \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2}
Per non portare dietro frazioni, utilizziamo questa formula fra primo e terzo termine, e fra secondo e quarto:
2 \cos 3x \cos x + 2 \cos 4x \cos x = 0
Dividiamo per 2 tutto:
\cos 3x \cos x + \cos 4x \cos x = 0
Mettiamo in evidenza il coseno:
\cos x (\cos 3x + \cos 4x ) = 0
All’interno della parentesi utilizziamo un’altra volta la stessa formula di prostaferesi.
2 \cos x \cos \frac{7x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0
Quindi questa equazione è zero, se almeno uno dei tre risulta essere zero. Quindi li risolviamo separatamente:
\cos x = 0
Da cui segue x= \frac{\pi}{2}+k\pi
\cos \frac{7x}{2} = 0
Da cui segue \frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2}+k\pi
E quindi x = \frac{\pi}{7}+ k \frac{2\pi}{7}
Poi rimane l’ultima equazione:
\cos \frac{x}{2} = 0
Da cui segue \frac{x}{2}= \frac{\pi}{2}+k\pi
che implica x= \pi+2k\pi
Unendo le soluzioni, notiamo che a noi basta prendere:
x=\frac{\pi}{2}+k\pi \lor x= \frac{\pi}{7}+ k \frac{2\pi}{7}
Per essere preparati per la verifica in classe vi consigliamo anche di esercitarvi sulle identità goniometriche!
Continuate a studiare sul nostro sito: trovate centinaia di altri esercizi di matematica che altro ancora!
Per approfondire: https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_trigonometrica
Equazioni goniometriche elementari: 20 esercizi.
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