Metodo di Cramer: spiegazione ed esercizi svolti
Il Metodo di Cramer è uno dei modi di risoluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa pagina vedremo in cosa consiste di preciso il Metodo di Cramer ed in quali occasioni utilizzarlo. Inoltre vedremo ben 10 esercizi svolti e spiegati in ogni singolo passaggio con descrizioni, immagini ed esempi! Iniziamo subito!
Indice
- Metodo di Cramer: spiegazione
- Esercizi svolti con sistemi a due incognite
- Metodo di Cramer a tre incognite
- Esercizi svolti con sistemi a tre incognite
Cominciamo subito!
Metodo di Cramer: spiegazione
Consideriamo il seguente sistema di equazioni lineari in due incognite x ed y:
\begin{cases} ax +by = c \\ a'x +b'y = c' \end{cases}
In un sistema, definiamo determinante del sistema il seguente oggetto:
D= \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} = ab' - ba'
Il determinante del sistema, come vedete, contiene solamente i coefficienti della x e della y, in maniera ordinata. Fare il determinante di un sistema consiste nel fare la sottrazione della prima diagonale rossa con la seconda blu. I termini che si incontrano nella diagonale si moltiplicano.
Nel Metodo di Cramer si utilizzano i determinanti per capire la soluzione del sistema di equazioni.
Adesso, è necessario però definire altri due determinanti. Consideriamo il determinante D_x sostituendo semplicemente i termini noti (c e c’) al posto della colonna dei coefficienti della x:
D_x= \begin{vmatrix} c & b \\ c' & b' \end{vmatrix} = cb' - bc'
Come vedete anche qui il procedimento del calcolo esplicito di un determinante è lo stesso. Prima diagonale sottratta alla seconda, dove nella diagonale i termini che si incontrano si moltiplicano.
Ed infine l’ultima che ci servirà è la D_y, ossia l’analogo di quella precedente. Sostituiamo alla matrice D i coefficienti noti (c e c’) al posto della colonna dei coefficienti relativi alla y:
D_y= \begin{vmatrix} a & c \\ a' & c' \end{vmatrix} = ac' - ca'
Ora che abbiamo tutto ciò che ci serve, giungiamo al Metodo di Cramer vero e proprio, che useremo negli esercizi per determinare fin da subito la soluzione di un sistema.
Consideriamo un sistema lineare di equazioni, dove i coefficienti sono ordinati nel classico modo:
\begin{cases} ax +by = c \\ a'x +b'y = c' \end{cases}
Consideriamo i determinanti che abbiamo visto, ossia D,D_x ,D_y .
Il Metodo o Regola di Cramer ci dice che il sistema ha soluzione se D \ne 0 . E la coppia di soluzioni è:
x = \frac{D_x}{D}, \; y = \frac{D_y}{D}
Se invece D=0 allora il sistema è:
- indeterminato, se D_x = 0 ed D_y = 0
- impossibile, se D_x \ne 0 oppure D_y \ne 0
Tutto riassunto nel seguente schema.
Giungere alla soluzione si tratta solamente di fare calcoli dei determinanti, tutto qui! Vediamo subito di applicare questa Regola a degli esercizi. Partiamo con sistemi a due incognite!
Esercizi svolti di sistemi a due incognite
con Metodo di Cramer
Riassumiamo i passaggi che seguiremo per risolvere gli esercizi.
Cosa importante: ricordate che partendo dalla matrice D, ad esempio la D_x sarebbe il determinante D, ma al posto della colonna della x ci sostituiamo i coefficienti noti. Stessa cosa per D_y: è la D, ma al posto della colonna della y ci sostituiamo i coefficienti noti. Questo è un modo per ricordarsi i determinanti!
Esercizio 1. \begin{cases} x -4y = 1 \\ x -2y = -1 \end{cases}
Il sistema è già “ordinato”: ossia vengono prima le x, poi le y, e poi a destra ci sono i termini noti. Quindi possiamo passare direttamente al calcolo dei determinanti: D,D_x , D_y .
CONSIGLIO: piuttosto che impararvi a memoria i vari ab’-ba’ ecc. fate sempre lo schemino delle diagonali, spiegato prima. In questo modo evitate di confondervi!
Ad esempio, ci impariamo a memoria che la matrice D è:
D= \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}
Poi, per calcolarcelo, facciamo lo schema delle diagonali, a mano:
In questo modo ci risparmiamo di imparare a memoria delle cose inutili! Poi, facendo lo stesso, gli altri due determinanti risultano essere:
D_x= \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdotp (-2) - (-4) \cdotp (-1) = -2-4=-6
D_y= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdotp (-1) - 1 \cdotp 1 = -1-1=-2
Adesso è il momento di trovare la soluzione! D \ne 0 e quindi c’è soluzione. Le due incognite sono quindi:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-6}{2} = -3
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-2}{2} = -1
Ed ecco fatto: è davvero facilissimo confondersi, quindi fate con calma, e ricontrollate. Non correte su questi esercizi!
Esercizio 2. \begin{cases} -x -y +8= 0 \\ 6x -2y = 9 \end{cases}
L’equazione al primo rigo non è ordinata nel modo corretto, quindi portiamo l’8 a secondo membro, e partiamo da questo sistema:
\begin{cases} -x -y = -8 \\ 6x -2y = 9 \end{cases}
Calcoliamo i tre determinanti:
D= \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} = -1 \cdotp (-2) - (-1) \cdotp 6 = 8
D_x= \begin{vmatrix} -8 & -1 \\ 9 & -2 \end{vmatrix} = -8 \cdotp (-2) - (-1) \cdotp 9 = 25
D_y= \begin{vmatrix} -1 & -8 \\ 6 & 9 \end{vmatrix} = -1\cdotp 9 - (-8) \cdotp 6 = 39
Il determinante D è diverso da zero, quindi esiste soluzione precisa! La coppia di soluzioni è:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{25}{8}
y = \frac{D_y}{D} = \frac{39}{8}
Esercizio 3. \begin{cases} -4x +3y =11 \\ \frac{2}{3} x - \frac{1}{2} y = 2 \end{cases}
Qui compaiono come coefficienti delle frazioni. Le frazioni sono tediose nei determinanti e sono brutte da portare avanti, quindi possiamo fare la seguente cosa: moltiplichiamo tutta la seconda equazione per 6 (massimo comune divisore), così eliminiamo i denominatori!
\begin{cases} -4x +3y =11 \\ 4x - 3y = 12 \end{cases}
Adesso troviamoci i determinanti:
D= \begin{vmatrix} -4 & 3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = -4 \cdotp (-3) - 3 \cdotp 4 = 12-12=0
D_x= \begin{vmatrix} 11 & 3 \\ 12 & -3 \end{vmatrix} = 11 \cdotp (-3) - 3 \cdotp 12 = -69
D_y= \begin{vmatrix} -4 & 11 \\ 4 & 12 \end{vmatrix} = -4\cdotp 12 - 11 \cdotp 4 = -92
Il determinante D è zero, perciò non c’è soluzione. Più precisamente, visto che:
D_x \ne 0,D_y \ne 0 allora il sistema si dice che è impossibile.
Esercizio 4. \begin{cases} 3x +2y = -4 \\ \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} y = -1 \end{cases}
Anche qui vi sono delle frazioni, leviamocele da mezzo. Moltiplichiamo questa volta per 4!
\begin{cases} 3x +2y = -4 \\ 3x + 2y = -4 \end{cases}
Adesso siamo pronti per il calcolo! In realtà, potremmo già dire adesso che il sistema risulta indeterminato: le equazioni sono uguali, di conseguenza i coefficienti sono uguali, ed essi nei determinanti si annulleranno, quindi i determinanti risulteranno tutti zero. Se volete, eccovi i calcoli per dimostrare ciò:
D= \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} =6-6=0
D_x= \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = -8+8=0
D_y= \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = -12+12 = 0
I determinanti sono tutti zero, come avevamo previsto all’inizio. Il sistema è indeterminato.
Esercizio 5. \begin{cases} 8x +2y = 3 \\ -4x +3y = 0 \end{cases}
Qui compare uno 0: alleluja! Nel calcolo di determinanti, gli zeri sono oro! Permettono di semplificare tantissimo i conti, ottimo che ci sia!
D= \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = 8 \cdotp 3 - 2 \cdotp (-4) = 32
D_x= \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdotp 3 - 0 \cdotp 2= 9
D_y= \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} = 0- 3 \cdotp (-4) = 12
Il D \ne 0 , quindi c’è soluzione precisa! La coppia è:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{9}{32}
y = \frac{D_y}{D} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}
(nell’ultimo passaggio abbiamo semplificato, dividendo per 4 i termini della frazione)
Esercizio 6. \begin{cases} 2(x+1) -3y = x+1 \\ x = 5y+4 \end{cases}
Qui il nostro sistema ha bisogno di qualche calcolino preliminare. Svolgiamo la parentesi:
\begin{cases} 2x+2 -3y = x+1 \\ x = 5y+4 \end{cases}
E poi portiamo i termini noti a secondo membro, e riordiniamo il tutto!
\begin{cases} x -3y = -1 \\ x-5y = 4 \end{cases}
Adesso siamo nelle condizioni di poter iniziare a calcolare i vari determinanti.
D= \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -5 \end{vmatrix} = -5 +3 = -2
D_x= \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 4 & -5 \end{vmatrix} =5 +12 = 17
D_y= \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 +1 = 5
Le soluzioni ci sono, e sono:
x = \frac{D_x}{D} = -\frac{17}{2}
y = \frac{D_y}{D} = -\frac{5}{2}
Esercizio 7. \begin{cases} \frac{7-3x}{3} +y =x+ 1 \\ x +5(-x+y) = \frac{15-x}{4} \end{cases}
Anche qui c’è qualcosa da fare, più precisamente: dobbiamo levare le frazioni, e dobbiamo levarci di torno quella parentesi tonda! Iniziamo dalla parentesi:
\begin{cases} \frac{7-3x}{3} +y =x+ 1 \\ x -5x+5y = \frac{15-x}{4} \end{cases}
Poi passiamo alle frazioni, moltiplichiamo nella prima per 3, e nella seconda equazione per 4 chiaramente.
\begin{cases} 7-3x +3y =3x+ 3 \\ 4x -20x+20y = 15-x \end{cases}
Sommiamo i rispettivi termini simili, e poi portando alla classica forma il sistema, ricaviamo:
\begin{cases} -6x +3y =-4 \\ -15x+20y = 15 \end{cases}
Ok! Adesso sì che possiamo procedere.
D= \begin{vmatrix} -6 & 3 \\ -15 & 20 \end{vmatrix} = -120 + 45 = -75
D_x= \begin{vmatrix} -4 & 3 \\ 15 & 20 \end{vmatrix} = -80 - 45 = -125
D_y= \begin{vmatrix} -6 & -4 \\ -15 & 15 \end{vmatrix} = -90-60 = -150
Le soluzioni del sistema sono:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-125}{-75} = \frac{5}{3}
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-150}{-75} = 2
Esercizio 8. \begin{cases} 2 -(y+2)^2 +3x = (1+y)(1-y) \\ \frac{x-5}{2} + \frac{1}{3} = \frac{y-1}{6} \end{cases}
Ovviamente non possiamo calcolare nessun determinante, qui c’è da fare molto! Nella prima equazione notiamo che c’è un quadrato di un binomio:
E poi notiamo che a secondo membro subentra anche la formula della differenza di quadrati:
Applicando queste due formule, e moltiplicando per 6 nella seconda equazione otteniamo:
\begin{cases} 2 -(y^2 +4 +4y) +3x = 1-y^2 \\ 3(x-5) +2 = y-1 \end{cases}
\begin{cases} 2 -y^2 -4 -4y +3x = 1-y^2 \\ 3x-15 +2 = y-1 \end{cases}
Sommando i termini simili, e portando il tutto alla classica forma, abbiamo che il nostro sistema è:
\begin{cases} 3x -4y= 3 \\ 3x-y = 12 \end{cases}
Calcoliamo i tre determinanti:
D= \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -3+12 = 9
D_x= \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 12 & -1 \end{vmatrix} = -3 +48 = 45
D_y= \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{vmatrix} = 36 - 9 = 27
Abbiamo soluzione, esse sono determinate da:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{45}{9} =5
y = \frac{D_y}{D} = \frac{27}{9} =3
Fino ad adesso abbiamo visto il Metodo di Cramer per un sistema a due incognite, ma cosa succede se il sistema è a tre equazioni e tre incognite? Come risulta essere il Metodo di Cramer?
Metodo di Cramer a tre incognite
E se abbiamo un sistema a tre equazioni e tre incognite come si fa? Il Metodo di Cramer è un’ottimo metodo per la risoluzione di sistemi a tre incognite. Vediamo com’è! Consideriamo il seguente sistema:
\begin{cases} ax+by+cz = d \\ a'x+b'y+c'z = d' \\ a''x+b''y+c''z = d'' \end{cases}
Se il determinante del sistema D \ne 0 allora vi è soluzione. Ora, abbiamo una terna di soluzioni che è data da:
x= \frac{D_x}{D}, \; y= \frac{D_y}{D}, \; z= \frac{D_z}{D}
Dove i determinanti D,D_x ,D_y ,D_z sono i seguenti:
Ed anche qui vi è lo stesso schema di prima, ossia grazie al calcolo di questi determinanti possiamo sapere se il sistema ha soluzione, oppure è indeterminato o impossibile.
Come si calcola il determinante di una matrice 3×3? Ci sono vari metodi, tra cui la Regola di Sarrus. Essa consiste nel riscrivere le prime due colonne di fianco alla matrice, e poi tracciare le diagonali. Le diagonali in rosso si sommano, quelle in blu si sottraggono.
E’ sicuramente un processo più lungo, per questo faremo solamente due esercizi mostrativi. Il metodo di Cramer è enormemente usato soprattutto con sistemi ad anche più di tre incognite. Questo accade soprattutto con gli esami di Geometria all’Università. Se volete più informazioni su quali argomenti vi sono su tale esame potete anche cliccare qui.
Esercizi svolti con sistemi a tre incognite
con Metodo di Cramer
Esercizio 9. \begin{cases} 5x+4y-z = 2 \\ -3x+3y+2z =7 \\ x+y-z = -1 \end{cases}
Partiamo dal calcolo del determinante del sistema D.
Stesso procedimento analogo anche per gli altri tre determinanti:
D_x= \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 7 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -6-8-7-3-4+28 = 0
D_y= \begin{vmatrix} 5 & 2 & -1 \\ -3 & 7 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -35+4-3+7+10-6 = -23
D_z= \begin{vmatrix} 5 & 4 & 2 \\ -3 & 3 & 7 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} =-15+28-6-6-35-12 = -46
D \ne 0 e quindi vi è una terna di soluzione:
x= \frac{D_x}{D} = \frac{0}{-23} = 0
y= \frac{D_x}{D} = \frac{-23}{-23} = 1
z= \frac{D_x}{D} = \frac{-46}{-23} = 2
Ecco fatto! L’unica scocciatura è il calcolo del determinante in sè.
Esercizio 10. \begin{cases} 6x-3y+z = 8 \\ x-2y+2z = 6 \\ 10x-2y-2z = 1 \end{cases}
Partiamo dal calcolo del determinante del sistema, almeno vediamo se c’è soluzione.
D= \begin{vmatrix} 6 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 10 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 24-60-2+20+24-6 = 0
Di conseguenza non c’è soluzione determinata: vediamo se è impossibile o indeterminata.
Vediamo D_x com’è:
D_x= \begin{vmatrix} 8 & -3 & 1 \\ 6 & -2 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 32-6-12+2+32-36 = 16
Basta questo per dire che il sistema è impossibile. Se fosse stato indeterminato sarebbero dovuti uscire tutti zeri, ma se uno non è zero allora non è indeterminato.
La pagina è conclusa. Trovate altri centinaia di argomenti di matematica, di geometria analitica e geometria. Continuate a supportare il nostro sito!
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