DIFFICILE quiz delle GARE di MATEMATICA: completa la tabella

Oggi vediamo la soluzione di una domanda delle Gare di Matematica del 2022, per il triennio, che hanno dato filo da torcere a tantissimi studenti che hanno provato a risolvere questo quesito. La soluzione è stata pubblicata, ma in questa pagina vedremo la spiegazione dettagliata.

Prima chiaramente, vi mostreremo il quesito, che potete provare a fare anche voi. Se volete anche il biennio del Liceo ci può provare tranquillamente, non è una questione di argomenti che non sapete.

Ed allora, iniziamo con la traccia di questo quesito, davvero molto bello. A nostro parere la domanda più bella delle gare del 2022.

TRACCIA: La tabella che vedete in basso, è composta da infinite righe e sette colonne. Essa contiene tutti i numeri naturali, in ordine crescente, tranne tutti i multipli di 5. La domanda del quesito è: che numero c’è nell’ultima casella della 120-esima riga?

In pratica per chiarire, mancano i multipli di 5: quindi manca il 5, il 10, e così via.

Se volete una spiegazione non scritta del quesito e della soluzione ve la mostriamo nel nostro canale YouTube, che vi invito ad iscrivervi!

Detto ciò, prendetevi del tempo, anche giorni, l’importante è che ci proviate prima di tutto voi. Non vedete la soluzione subito, altrimenti non imparerete nulla! Prima di vedere la soluzione vi diciamo che potrebbero esserci senza dubbio più ragionamenti diversi da poter fare, noi abbiamo usato quello classico che è stato proposto anche nella lista delle soluzioni.

Soluzione e ragionamento

Allora, chiedersi che numero è quello dell’ultima colonna (la settima) della 120-esima riga, significa in altre parole chiedersi quale è il numero 840° della tabella. Questo perché 120 \cdotp 7 = 840 . Quindi nei numeri, in ordine crescente, dobbiamo trovare l’840° numero.

Visto che ci stiamo chiedendo dell’ultimo numero della colonna, potremmo ragionare nel modo seguente. Possiamo cercare di trovare una qualche tipo di successione che collega tutti i numeri dell’ultima colonna. A questo punto trovata la tipologia di sequenza numerica, sapremo arrivare alla soluzione. Ed allora analizziamo più da vicino l’ultima colonna.

Possiamo notare che purtroppo non c’è una sequenza precisa. L’incremento non è costante, e non segue una logica precisa, perché il valore dell’incremento dipende da quanti multipli di 5 mancano in quella determinata riga. Ma non bisogna buttare questo ragionamento!

L’idea di cercare di trovare una successione è giusta. E di fatti seguiremo questa idea.

C’è infatti qualcosa di molto più regolare in questa tabella (ed è questa la parte difficile da notare). La tabella è formata da quaterne di numeri, il cui ultimo numero viene sempre incrementato di +5! Notiamo che in realtà questo vale anche per gli altri 3 numeri rimanenti.

Ed allora abbiamo trovato un collegamento fra i vari gruppi di numeri nella tabella. A questo punto quale dobbiamo cercare per giungere alla soluzione?

Noi vogliamo il numero 840° nella tabella. Se facciamo \frac{840}{4}=210 , fa 210 senza resto. Di conseguenza adesso, si può arrivare concettualmente al fatto che allora il numero 840° sarebbe l’ultima casella (la quarta) della 210° quaterna. Questo è un passaggio complicato, quindi prendetevi del tempo per pensarci, e non preoccupatevi se non capite subito, è naturale.

In una rappresentazione più facile da capire, possiamo presentarvi il seguente schema, nel quale ci sono tutte le quaterne viste in precedenza anche, legate da un incremento di +5, e noi vogliamo trovare l’ultimo numero della quaterna num.210.

A questo punto i giochi sono fatti perché abbiamo capito come procedere.

Prima di arrivare a calcolare la 210° quaterna, calcoliamo a mo’ di esempio la terza quaterna. Così estenderemo la spiegazione alla quaterna 210.

L’ultimo numero della 3° quaterna si trova partendo da 4, e incrementando il 4 per 2 volte!

14 = 4 + 5 \cdotp 2

Quindi l’ultimo numero della 210° quaterna lo si calcola partendo sempre da 4, che funge da sistema iniziale di riferimento, e poi incrementando 5 per 209 volte!

E quindi la soluzione è la lettera A: ossia il numero 1049! La spiegazione speriamo sia stata chiara. Non era di certo un quesito semplice, quindi magari tornateci più volte su questa spiegazione.

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