Quanto vale il raggio del cerchio grigio?
Eccoci ritrovati! Sta per iniziare Settembre e la scuola, stanno per iniziare impegni, sport e anche le bellissime Gare di Matematica! Quindi, se avete del tempo libero, oggi possiamo divertirci insieme risolvendo questo quesito di una Gara di Matematica uscita nel 2007 per il triennio.
E’ un quesito, da pochi calcoli. L’unica parte difficile è trovare il modo di risolverlo. Poi trovato concettualmente tale modo, la soluzione verrà da sé!
Iniziamo quindi a vedere cosa ci dice questo quesito, tra i più belli della sezione di Geometria a parer nostro. Ecco di seguito la traccia del quesito.
Quindi il quesito ci sta dicendo un solo semplice dato: il cerchio più grande (quello che contiene tutti gli altri cerchi più piccoli) ha il raggio che misura 20cm.
Poi in realtà potete ottenere qualche altro piccolo indizio guardando meglio l’immagine.
Comunque, alla fine, il quesito ci chiede di calcolare il raggio del cerchio grigio, ossia il seguente.
Detto questo prego, provateci voi. Il quesito è difficile, bisogna dirlo, quindi mettetevi con comodo, che passerà tempo prima che riusciate a risolverlo.
A questo punto, tempo scaduto! Vediamo nella prossima sezione la soluzione e commentiamola, cercando di capire il ragionamento che vi è alla base, che vi potrà essere utile per qualsiasi altro quesito di questo tipo.
Calcolo raggio del cerchio grigio: SOLUZIONE
Allora, partiamo dall’unico dato che abbiamo: il raggio del cerchio grande è 20cm. Tale raggio comprende due volte il diametro dei cerchi piccolini vuoti.
Ciò significa che il raggio del cerchio piccolino è 5cm, ossia 1/4 del segmento rosso disegnato in figura.
Era proprio questo che intendevamo con l’indizio “possiamo capire qualcosa guardando bene la figura”. Le figure di fatti non sono messe a caso. Vi immaginate che in una gara di Matematica mettano una figura con le proporzioni sbagliate? Che figuraccia.
Comunque, a questo punto, in realtà in molti saranno arrivati, non era difficile. La parte difficilissima arriva ora.
Questa parte non è difficile a livello di calcolo, ma a livello concettuale. Vediamola con calma.
Allora, noi dobbiamo trovare il raggio del cerchio grigio (chiamiamolo R), sapendo che il raggio del cerchio piccolo (chiamiamolo r piccolo) misura 5cm. Ora, dobbiamo trovare una relazione geometrica che ci conduca ad una equazione con una sola incognita, R ovviamente.
La relazione che ci porta alla soluzione proviene dal considerare il seguente triangolo, e scrivere per esso il Teorema di Pitagora.
Perché proprio questo triangolo vi starete chiedendo: da dove è uscito? La risposta è che ci serve una qualsiasi relazione geometrica che ci porta ad R. Ora quale usiamo? Una idea è partire dal cercare un qualche tipo di triangolo (della quale sappiamo tanti modi per calcolare lati ed angoli, perciò scegliamo questo) con i lati che conosciamo. Il teorema di pitagora ci permette di legare in una relazione questi tre lati.
Scegliamo questo perché:
- Abbiamo il lato AO che equivale al raggio r che conosciamo. Quindi è un lato noto;
- Abbiamo il lato AB che sarebbe r+R se vedete meglio, e quindi abbiamo una sola incognita in questo lato (R);
- Abbiamo infine il lato BO che può essere scritto come il diametro, quindi 4r meno R.
Tutto ciò è servito ad avere una equazione ad una incognita. Basterà risolverla per trovare il raggio R del cerchio grigio e arrivare a concludere il quesito.
E quindi risolviamola: iniziamo a sostituire il valore del raggio r, per comodità senza scrivere i centimetri. Ce lo ricorderemo alla fine, non è un problema in questo caso!
Svolgiamo l’equazione e ci troveremo la soluzione seguente.
Quindi la soluzione del quesito è R=8cm, ossia la lettera C!
Anche se non siete riusciti, tenetelo a mente, perché escono spesso quesiti geometrici di questo tipo, basati su triangoli e circonferenze.
