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Come si fa la verifica delle equazioni

Come si fa la verifica delle equazioni? Dopo aver risolto una equazione di cui non si conosce il risultato, per vedere se ci si trova si effettua una verifica. In questa pagina vedremo come fare a verificare la soluzione di una equazione!

Indice

Vediamo prima di tutto il caso base: le equazioni lineari di primo grado che si fanno anche alle scuole medie!


Verifica di una equazione di primo grado

come fare verifica di equazione

Abbiamo la seguente equazione di primo grado:

x - (x-7) +2x = 4 -x

Supponiamo che l’abbiamo risolta e ci troviamo il seguente risultato:

x=2

Il libro non ci dà il risultato, oppure siamo durante la verifica in classe e vogliamo sapere se ci troviamo: effettuiamo una verifica. La verifica di una equazione consiste nel sostituire nell’equazione (al posto della x) il risultato che abbiamo trovato: se il primo membro risulta essere uguale al secondo allora ci troviamo!

Quindi, in questo caso, sostituiamo x=2 al posto della x, nell’equazione di sopra, e ci viene:

2 - (2-7) +2\cdotp 2 = 4 - 2

E lo risolviamo, cioè effettuiamo moltiplicazioni e somme fino a ridurlo a due soli numeri a sinistra e destra (primo membro e secondo membro):

2 - (-5) + 4 = 4 - 2

2 +5 + 4 = 4 - 2

Sommiamo, tenendo parte di sinistra e destra separate:

11 = 2

Come vedete ci troviamo questo risultato. La domanda ora che ci poniamo: 11 è uguale a 2? Chiaramente no! Quindi non ci troviamo! La verifica ci ha fatto notare che abbiamo fatto qualche errore durante lo svolgimento dell’equazione. Il mio consiglio è di ripetere anche la verifica, perché magari abbiamo fatto qualche errore scemo durante la verifica stessa, ed in realtà ci troviamo!

Durante una verifica non è necessario che teniate primo membro e secondo membro separati. Potete anche portare tutto a primo membro, o a secondo, ed in quel caso dovrete verificare che vi venga 0=0.


Esempio 1. Verifichiamo che nell’equazione seguente il risultato è x=-1.

4(1-x) - 3(x+2) = 4-x

Risolviamo l’equazione e ci troviamo x=-1: è corretto come risultato? Effettuiamo una verifica!

Sostituiamo x=-1 nell’equazione. Quando il risultato è con un segno meno bisogna stare molto attenti ai segni! Come vedrete in certe situazioni è meglio mettere delle parentesi per non sbagliare:

4(1-(-1)) - 3(-1+2) = 4-(-1)

(Le parentesi le mettiamo soprattutto quando prima della x c’è già un segno meno)

4(1+1) - 3(1) = 4+1

Per comodità teniamo i due membri separati.

4 \cdotp 2 - 3 = 5

Ed otteniamo:

8 - 3 = 5

5 = 5

5=5? Chiaramente sì! L’equazione è verificata! Ci troviamo dunque, abbiamo svolto l’equazione in maniera corretta!

Il prossimo esempio è davvero importante!

Esempio 2. Verifichiamo come risultato x=1 della seguente equazione:

x \frac{1}{\sqrt{2} } = x-1 + \frac{\sqrt{2} }{2}

Sostituiamo la x=1 nell’equazione di sopra e ci verrà un qualcosa di strano:

1 \cdotp \frac{1}{\sqrt{2} } = 1-1 + \frac{\sqrt{2} }{2}

\frac{1}{\sqrt{2} } = \frac{\sqrt{2} }{2}

Come vedete sembra che non ci troviamo: i due membri non sono ad occhio uguali. A volte può capitare di dover fare qualche passaggio in più come razionalizzazione, minimo comune multiplo ecc.

Qui infatti basta razionalizzare il primo membro per far emergere che davvero ci troviamo:

\frac{1}{\sqrt{2} } \cdotp \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } = \frac{\sqrt{2} }{2}

\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} \cdotp \sqrt{2} } = \frac{\sqrt{2} }{2}

Otteniamo:

\frac{\sqrt{2} }{ 2 } = \frac{\sqrt{2} }{2}

Di conseguenza noi ci troviamo! Quindi stiamo attenti. Notate inoltre che razionalizzare o fare il minimo comune multiplo sono passaggi che NON cambiano l’equazione, ma la scrivono solo in una forma diversa.

Come altro esercizio esemplare vi consiglio l’ultimo poi.

Abbiamo visto come si fa la verifica di una equazione di primo grado.
Adesso vediamo altri esempi di come si fa la verifica di una equazione più complicata.

Come fare la verifica di qualsiasi equazione

Esempio 3. Supponiamo che alla seguente equazione di secondo grado ci troviamo x=0 ed x=-1.

3(x^2 + x)=0

Come sappiamo, nelle equazioni di secondo grado le soluzioni possono essere anche due, dunque bisogna fare la verifica una alla volta. In questo caso abbiamo uno zero a destra, ma non cambia nulla: per trovarci dovremmo verificare sempre che il primo membro sia uguale al secondo, dunque ci dovrà venire che 0=0!

Partiamo con la verifica di x=0:

3(0^2 + 0)=0

3\cdotp 0 =0

E dunque ci viene:

0=0

Ci troviamo con questa prima soluzione, passiamo alla verifica di x=-1! Quando la soluzione ha un segno meno mettete le parentesi se siete dubbiosi!

3((-1)^2 + (-1))=0

3(1 -1)=0

Ed anche in questo caso:

3 \cdotp 0 =0

0=0

Ci troviamo anche con la seconda soluzione, abbiamo svolto bene l’esercizio!

Esempio 4. Supponiamo che alla seguente equazione di 2° grado ci viene come soluzione impossibile:

x(x-4) = -4 (x+1)

Beh qui purtroppo non si può fare nulla: quando vi viene impossibile dovrete rifare i calcoli semplicemente. Non si può fare una verifica di un impossibile!


Continuiamo con altri esempi su come si fa la verifica di una equazione qualsiasi!

Esempio 5. Alla seguente equazione esponenziale, facciamo finta che ci troviamo x=3:

8 + 2^{x+1} = 2^{2x}

L’idea non cambia mai: sostituiamo sempre la x che troviamo nell’equazione…qualsiasi essa sia!

8 + 2^{3+1} = 2^{2\cdotp 3}

E verifichiamo che sinistra=destra!

8 + 2^{4} = 2^{6}

Prendiamo mano alla calcolatrice per sicurezza, ed otteniamo che quegli esponenziali valgono:

8 + 16 = 64

24 = 64

Chiaramente vediamo subito ad occhio che non ci troviamo. Bisogna rifare lo svolgimento dell’equazione!

Esempio 6. Alla seguente equazione logaritmica, verifichiamo il risultato di x=0:

\frac{1}{2} \log (1-8x) = \log (1 - \sqrt{2x} )

Anche questo è un esercizio da tenere a mente, e vedremo dopo il perché! Iniziamo a sostituire:

\frac{1}{2} \log (1-8 \cdotp 0 ) = \log (1 - \sqrt{2 \cdotp 0 } )

\frac{1}{2} \log (1-0 ) = \log (1 - 0 )

Otteniamo:

\frac{1}{2} \log (1 ) = \log (1 )

Il logaritmo di 1 fa zero, e possiamo anche vederlo dalla calcolatrice direttamente. Quindi:

\implies 0=0

Sembra che ci troviamo! Ed in effetti è così…ma l’equazione ha anche un’altra soluzione. Questo però la verifica non ce lo dirà. Concludiamo col dire che la verifica è importante, ma non ci dice tutto: fondamentale quindi rifare i conti più volte durante magari una verifica in classe!

In questa pagina abbiamo visto come si fa una verifica di una equazione, che essa sia di primo grado, di secondo grado, logaritmica, esponenziale o altro!

Trovate altre centinaia di esercizi e argomenti come questo spiegati sempre con cura, di matematica, di geometria analitica e geometria!

Continuate a studiare sul nostro sito!

Per approfondire:
https://it.wikipedia.org/wiki/Risoluzione_di_un%27equazione

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