Esercizi svolti limiti NOTEVOLI: 25 ESERCIZI !
Esercizi svolti limiti NOTEVOLI: 25 ESERCIZI ! Verifica in classe o esame in arrivo? Quale sito migliore per studiare, eccovi ben 20 esercizi svolti sul calcolo dei limiti notevoli che sono sicuramente l’argomento più importante per l’esame finale! Prima di passare a quest’ultimo step, è importante che sappiate le basi del calcolo dei limiti e delle forme indeterminate. Cliccateci sopra e avrete altri esercizi svolti che in una giornata riuscirete a capire! Di seguito troverete l’indice che vi porta ai vari capitoli di questa lezione sugli esercizi. Partiremo da un formulario che potete scrivere su un foglietto per ricordarvelo e poi passeremo al mettere in pratica ogni singolo limite notevole. Alla fine ci saranno dei consigli da seguire! Iniziamo subito!
Indice
- Tabella dei limiti notevoli
- Limite notevole: \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
- Limite notevole: \lim\limits_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{x} = 0
- Limite notevole: \lim\limits_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
- Limite notevole: \lim\limits_{x \to \pm \infin} (1+\frac{1}{x} )^x = e
- Limite notevole: \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (1+x) }{x} = 1
- Limite notevole: \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1
- Limite notevole: \lim\limits_{x \to 0} \frac{ (1+x)^k -1 }{x} = k
- Consigli generali per la verifica in classe.
Iniziamo subito con gli esercizi svolti sui limiti notevoli!
Limiti notevoli tabella
![esercizi svolti limiti notevoli](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/10/esercizi-svolti-limiti-notevoli-1024x379.jpg)
Iniziamo subito con gli esercizi svolti sui limiti notevoli!
Esercizi limite notevole:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
Esercizio 1. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sin 5x }{x}
Il limite notevole a cui ci dobbiamo rifare è chiaramente:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
Quando abbiamo un limite che è leggermente diverso da uno notevole, quello che possiamo fare è la seguente cosa: moltiplichiamo e dividiamo per 5.
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sin 5x }{5x} \cdotp 5
A questo punto pongo 5x=y, quindi y=\frac{x}{5}.
Sostituiamo nel limite:
\lim\limits_{\frac{y}{5} \to 0 } \frac{\sin y }{y} \cdotp 5
Quello che possiamo notare è che se x tende a 0 anche y tende a 0 (visto 5x=y), quindi o scriviamo y/5 o scriviamo y è la stessa cosa perchè entrambi tendono a 0:
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{\sin y }{y} \cdotp 5
Ed abbiamo ottenuto il limite notevole che conosciamo! Anzi che avere scritto la x abbiamo scritto la y che è la stessa identica cosa! O una variabile o l’altra sempre vale:
\lim\limits_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1
L’importante è che siamo uguali le quantità al posto della x nel limite notevole. Cioè per esempio non vale:
\lim\limits_{y \to 0} \frac{\sin y}{2y} = 1 !!!!
Mentre vale:
\lim\limits_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1 !!!!
Torniamo al nostro esercizio.
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{\sin y }{y} \cdotp 5 = 1 \cdotp 5 = 5
Esercizio 2. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sin kx }{x}
Stesso procedimento di prima! Questo tipo di ragionamento ricorre sempre quindi è importante capirlo!
Moltiplichiamo e dividiamo per k:
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sin kx }{kx} \cdotp k
Poniamo kx=y, e notiamo che se x tende a 0 anche y tende a 0, perchè k \cdotp 0 = 0
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{\sin y }{y} \cdotp k
Sfruttiamo ora il limite notevole:
\lim\limits_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1
E quindi otteniamo come risultato:
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{\sin y }{y} \cdotp k = 1 \cdotp k = k
Esercizio 3. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sin^2 2x }{x^2}
Notiamo immediatamente che possiamo scrivere:
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sin^2 2x }{x^2} = \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{x} \cdotp \frac{\sin 2x }{x}
E come prima moltiplichiamo e dividiamo per 2 per ben 2 volte, perchè abbiamo due limiti notevoli che compaiono.
= \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x} 2 \cdotp \frac{\sin 2x }{2x} 2 = \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x} \cdotp \frac{\sin 2x }{2x} \cdotp 4
Come fatto in precedenza, poniamo 2x=y. Notiamo inoltre che se x tende a 0 anche y tende a 0, quindi otteniamo:
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{\sin y }{y} \cdotp \frac{\sin y }{y} \cdotp 4 =
=\lim\limits_{y \to 0 } \frac{\sin y }{y} \cdotp \lim\limits_{y \to 0 } \frac{\sin y }{y} \cdotp 4 = 1 \cdotp 1 \cdotp 4 = 4
Esercizio 4. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\cos^2 x -1 }{2x}
Il numeratore ci fa venire immediatamente in mente la formula madre della trigonometria:
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
Da cui segue:
\sin^2 x + \cos^2 x - 1 = - \sin^2 x
Sostituiamo nel nostro limite il risultato ottenuto e scriviamo il limite come un limite notevole che conosciamo moltiplicato per tutto il resto.
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{- \sin^2 x }{2x} = \frac{\sin x }{x} \cdotp (-\frac{\sin x }{2} )
=\lim\limits_{x \to 0 }\frac{\sin x }{x} \cdotp \lim\limits_{x \to 0 } (-\frac{\sin x }{2} )
Il primo è un limite notevole di cui conosciamo il risultato, sul secondo sostituiamo semplicemente perchè non ci dà nessun problema!
=1 \cdotp (-\frac{\sin 0 }{2} ) = 0
Continuiamo con gli esercizi svolti limiti notevoli!
Esercizio 5. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sin x +2x \cos x }{x \cos x + 2 \sin x}
Il nostro obiettivo è quello di far comparire dei limiti notevoli che conosciamo. In questo caso notiamo che: mettendo in evidenza la x sia al numeratore che al denominatore allora esce fuori il limite notevole che conosciamo e la x si semplifica.
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{x(\frac{\sin x}{x} +2 \cos x )}{x( \cos x + 2 \frac{\sin x}{x} ) }= \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{x} +2 \cos x }{ \cos x + 2 \frac{\sin x}{x} }
A questo punto risolviamo il limite, ricordandoci che:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
=\frac{1 +2 \cos 0 }{ \cos 0 + 2 } = \frac{1+2}{1+2}=1
Limiti notevoli per x che tende ad infinito
Vediamo un esempio in cui il limite tende all’infinito, mentre noi vorremmo che tendesse a zero…
Esercizio 6. \lim\limits_{x \to \infin } x \sin \frac{1}{x}
Per ovviare al problema, un po’ come fatto nel primo esercizio, poniamo:
y=\frac{1}{x} \implies x=\frac{1}{y}
Sostituendo otteniamo:
\lim\limits_{x \to \infin } \frac{1}{y} \sin y
A questo punto bisogna chiaramente anche sostituire la x che tende ad infinito. Notiamo che se x tende ad infinito, y tende a zero, vedendo y=\frac{1}{x} perchè y=\frac{1}{\infin} =0
E quindi otteniamo sotto forma di altra variabile il limite notevole!
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{1}{y} \sin y = 1
Continuiamo con gli esercizi svolti limiti notevoli!
Esercizi limiti notevoli:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{x} = 0
Esercizio 7. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{1- \sqrt{ \cos x } }{x}
Questo ci ricorda il limite notevole:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{x} = 0
Effettivamente notiamo che, come fatto in precedenti lezioni, se moltiplichiamo e dividiamo per lo stesso numeratore ma cambiato di segno allora otteniamo questo limite notevole, e possiamo risolvere il limite!
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{1- \sqrt{ \cos x } }{x} \frac{1+ \sqrt{ \cos x }}{1+ \sqrt{ \cos x }}
E poi sfruttiamo la relazione algebrica:
(a-b)(a+b)=a^2 - b^2
Quindi il nostro limite diventa:
= \lim\limits_{x \to 0 } \frac{1- \cos x }{x(1+ \sqrt{ \cos x })}
A questo punto è comparso il limite notevole che volevamo, ed inoltre il limite adesso dà un risultato accettabile!
= 0 \cdotp \frac{1}{1+ \sqrt{ \cos 0 }}= 0
Continuiamo con gli esercizi svolti limiti notevoli!
Esercizio 8. \lim\limits_{x \to 0^- } e^{\frac{\sin x}{1- \cos x} }
Notiamo che all’esponente vi è:
- al denominatore c’è metà del limite notevole \lim\limits_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{x} = 0 ;
- al numeratore c’è metà del limite notevole \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.
A tutti e due gli manca una x, quindi moltiplichiamo e dividiamo per x l’esponente della e.
\lim\limits_{x \to 0^- } e^{\frac{x \sin x}{x(1- \cos x}) }
Abbiamo ora sia il limite notevole \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
sia il limite notevole seguente, però al contrario \lim\limits_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{x} = 0
Possiamo risolvere il limite! Scriviamo separatamente i due limiti notevoli per comodità:
= \lim\limits_{x \to 0^- } e^{\frac{ \sin x}{x} \frac{x}{1- \cos x} } = \lim\limits_{x \to 0^- } e^{\frac{ \sin x}{x} (\frac{1- \cos x}{x})^{-1} }
Sostituiamo i risultati dei limiti notevoli e concludiamo l’esercizio:
=e^{1 \cdotp (0^-)^{-1} } = e^{1 \cdotp \frac{1}{0^-} } = e^{-\infin} = 0^+
Esercizio 9. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{x^2 \cos x }{2-2 \cos x}
Mettiamo in evidenza il 2 innanzitutto.
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{x^2 \cos x }{2(1- \cos x )}
In realtà come prima, abbiamo il reciproco del limite notevole. Quindi lo scriviamo in questo modo equivalente:
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{\cos x }{2} (\frac{1- \cos x}{x^2 })^{-1}
E risolviamo il limite!
= \frac{\cos 0 }{2} (\frac{1}{2 })^{-1} = \frac{1}{2} \cdotp 2 = 1
Continuiamo con gli esercizi limiti notevoli!
Esercizi svolti con i limiti notevoli:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
Esercizio 10. \lim\limits_{x \to 0^+ } \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x} }{x}
Quella radice ci dà fastidio, però a levarla sarebbe non facile. Portare la x all’interno della radice è molto più semplice invece. Notiamo che:
x = \sqrt{ x^2 }
Quindi scriviamolo così all’interno del limite, e poi portiamo tutto sotto una comune radice, per una proprietà delle radici.
\lim\limits_{x \to 0^+ } \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x} }{\sqrt{ x^2 }} =\lim\limits_{x \to 0^+ } \sqrt{\frac{1 - \cos^2 x}{x^2} }
Sfruttiamo la differenza dei quadrati, per far sì di levare il quadrato al coseno, che è il nostro obiettivo!
\lim\limits_{x \to 0^+ } \sqrt{\frac{1 - \cos^2 x}{x^2} } = \lim\limits_{x \to 0^+ } \sqrt{\frac{(1 - \cos x)(1+ \cos x)}{x^2} }
Da qui risolviamo il limite, poiché abbiamo finalmente quello della formula di questo paragrafo. Notate inoltre che nel limite notevole o x tende a 0 o tende a 0^+ in questi casi non fa differenza.
=\sqrt{\frac{1}{2} (1 + \cos 0) } = \sqrt{\frac{1}{2} (1 + 1) } = 1
Esercizio 11. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{2x^2 }{1- \cos x}
Questo ci ricorda sicuramente il limite notevole seguente, però all’incontrario:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
Notiamo che abbiamo il reciproco del limite notevole, ciò non è un problema. Quello che possiamo fare sicuramente è una semplice riscrittura in un questa forma equivalente:
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{2x^2 }{1- \cos x} = \lim\limits_{x \to 0 } (\frac{1- \cos x }{2x^2})^{-1}
E scriviamo la costante moltiplicativa separata.
=\lim\limits_{x \to 0 } (\frac{1}{2} \cdotp \frac{1- \cos x }{x^2})^{-1}
A questo punto abbiamo fatto comparire il limite notevole, e quindi possiamo risolvere il limite.
= (\frac{1}{2} \cdotp \frac{1}{2} )^{-1} = (\frac{1}{4} )^{-1} = 4
Continuiamo con gli esercizi svolti con i limiti notevoli!
Limiti notevoli esercizi svolti:
\lim\limits_{x \to \pm \infin} (1+\frac{1}{x} )^x = e
Esercizio 12. \lim\limits_{x \to - \infin } (\frac{x-7}{x} )^x
Sicuramente la forma è chiara e ci vogliamo ricondurre al limite notevole seguente:
\lim\limits_{x \to \pm \infin} (1+\frac{1}{x} )^x = e
Spezziamo la frazione, scrivendo due termini separati.
\lim\limits_{x \to - \infin } (\frac{x}{x}-\frac{7}{x} )^x = \lim\limits_{x \to - \infin } (1-\frac{7}{x} )^x
Ciò che vogliamo è un qualcosa del tipo (1+\frac{1}{y}) all’interno della parentesi.
Effettuiamo una sostituzione e poniamo quindi:
-\frac{7}{x} =+ \frac{1}{y}
Dove facciamo il reciproco di tutta l’equazione per ottenere la x in funzione della y, cioè capovolgiamo tutto in parole povere.
-\frac{x}{7} =y \implies x=-7y
Nel nostro limite abbiamo che x \to - \infin, notando che x=-7y, allora se x tende a -infinito allora y tende a +infinito. Sostituiamo il tutto nel nostro limite dell’esercizio adesso!
\lim\limits_{y \to + \infin } (1+\frac{1}{y} )^{-7y}
Adesso dobbiamo un attimo cambiare l’esponente. Sfruttiamo la proprietà delle potenze seguente:
a^{bc} = (a^b)^c
Nel nostro caso:
\lim\limits_{y \to + \infin } [(1+\frac{1}{y} )^y ]^{-7}
Quello all’interno è il limite notevole, risolviamo l’esercizio.
=e^{-7}
Esercizio 13. \lim\limits_{x \to + \infin } (\frac{x^2 +1}{x^2} )^{2x^2}
Anche in questo caso, come accade molto spesso in questi tipi di limiti, spezziamo la frazione:
\lim\limits_{x \to + \infin } (\frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2})^{2x^2}=\lim\limits_{x \to + \infin } (1 + \frac{1}{x^2})^{2x^2}
Poniamo:
\frac{1}{x^2}=\frac{1}{y} \implies x^2 =y \implies x=\sqrt{y}
Abbiamo che se x tende a +infinito, cioè il caso nostro, anche la y tende a +infinito. Quindi:
\lim\limits_{y \to + \infin } (1 + \frac{1}{y})^{2y}
Ed utilizziamo la stessa regola delle potenze citata prima.
= \lim\limits_{y \to + \infin } [(1 + \frac{1}{y})^y ]^2
Quello all’interno è il nostro caro limite notevole.
= e^2
Esercizio 14. \lim\limits_{x \to -\infin } (\frac{x+2}{x+1})^x
Scriviamo il numeratore x+2 come x+1+1. In tale modo possiamo spezzare la frazione e semplificare.
= \lim\limits_{x \to -\infin } (\frac{x+1+1}{x+1})^x = \lim\limits_{x \to -\infin } (\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1} )^x
=\lim\limits_{x \to -\infin } (1+\frac{1}{x+1} )^x
Continuiamo sempre per sostituzione. Poniamo:
\frac{1}{x+1} = \frac{1}{y} \implies x+1=y \implies x=y-1
Nel nostro limite abbiamo che x tende a -infinito, se x tende a – infinito la y tende a -infinito, visto che x=y-1, quindi:
=\lim\limits_{y \to -\infin } (1+\frac{1}{y} )^{y-1}
Sfruttiamo adesso la proprietà delle potenze secondo la quale:
a^{b+c}=a^b a^c
Nel nostro caso allora:
=\lim\limits_{y \to -\infin } (1+\frac{1}{y} )^y (1+\frac{1}{y} )^{-1}
Il primo è il limite notevole solito, il secondo non ci dà problemi.
=e (1+\frac{1}{-\infin} )^{-1} = e(1+0)^{-1}=e
Continuiamo con gli limiti notevoli esercizi svolti!
Limiti notevoli con ln:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (1+x) }{x} = 1
Esercizio 15. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\ln (x+5) -\ln 5 }{ x}
Adesso vediamo come trattare esercizi dei limiti notevoli con ln, ossia il logaritmo naturale, cioè un logaritmo con base e, che è un numero che vale 2,7…
Mettiamo qui in evidenza all’interno del logaritmo il 5.
=\lim\limits_{x \to 0 } \frac{\ln 5(\frac{x}{5}+1) -\ln 5 }{ x}
ed utilizziamo la proprietà dei logaritmi seguente:
=\ln ab = \ln a + \ln b
Quindi nel nostro caso:
=\lim\limits_{x \to 0 } \frac{\ln 5 + \ln(\frac{x}{5}+1) -\ln 5 }{ x} =\lim\limits_{x \to 0 } \frac{ \ln(\frac{x}{5}+1) }{ x}
Ed ora poniamo \frac{x}{5}=y \implies x= 5y
Se x tende a 0 anche y tende a 0. Sostituiamo:
=\lim\limits_{y \to 0 } \frac{ \ln(y+1) }{ 5y} =\lim\limits_{y \to 0 } \frac{1}{5} \frac{ \ln(y+1) }{ y} =\frac{1}{5}
Esercizio 16. \lim\limits_{x \to +\infin } x[\ln (x+1) - \ln x ]
Ciò che ci dà fastidio è quella x al numeratore e la y che tende ad infinito. Poniamo allora subito:
x=\frac{1}{y}
In tal modo se x tende ad infinito la y tende a 0. Inoltre abbiamo ora la y al denominatore e pian piano sta figurando il limite notevole.
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{\ln (\frac{1}{y}+1) - \ln \frac{1}{y} }{y}
E facciamo il minimo comune multiplo all’interno del primo logaritmo:
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{\ln (\frac{1+y}{y}) - \ln \frac{1}{y} }{y}
In tal modo possiamo utilizzare sia per il primo logaritmo che per il secondo la proprietà:
\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b
Quindi per il nostro limite:
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{\ln (1+y) - \ln y - \ln 1 + \ln y }{y} =\lim\limits_{y \to 0 } \frac{\ln (1+y) }{y}
perchè ricordiamo che il ln 1=0, ora abbiamo risolto l’esercizio con risultato:
=1
Esercizio 17. \lim\limits_{x \to +\infin } x[\ln (x^2 +4 ) -2\ln x ]
Questa non è facile sicuramente. Dobbiamo sfruttare fin da subito la seguente proprietà del logaritmo:
b \ln a = \ln a^b
Quindi il secondo logaritmo diventa \ln x^2
E poi utilizziamo la proprietà secondo la quale:
\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}
E quindi nel nostro limite abbiamo che:
\lim\limits_{x \to +\infin } x[\ln (x^2 +4 ) -\ln x^2 ]=\lim\limits_{x \to +\infin } x[\ln (\frac{x^2 +4}{x^2} ) ]
=\lim\limits_{x \to +\infin } x \ln (1 + \frac{4}{x^2} )
A questo punto poniamo:
\frac{4}{x^2}=y \implies x=\sqrt{\frac{4}{y} } = \frac{2}{\sqrt{y} }
Se x tende a infinito la y tende a 0, il limite diventa:
\lim\limits_{y \to 0 } 2 \frac{\ln (1 + y )}{\sqrt{y}}
Abbiamo il limite che tende a 0, abbiamo il logaritmo messo bene, il denominatore dobbiamo cambiarlo. Moltiplichiamo e dividiamo allora per \sqrt{y}!
=\lim\limits_{y \to 0 } 2 \frac{\ln (1 + y )}{\sqrt{y}} \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} =\lim\limits_{y \to 0 } 2 \frac{\ln (1 + y )}{y} sqrt{y}
Abbiamo quindi il limite notevole che compare adesso!! Risolviamo il limite:
=2 \cdotp 1 \cdotp \sqrt{0} = 0
Questi erano dei limiti notevoli con ln, ossia con la presenza di logaritmi naturali.
Continuiamo con altri esercizi svolti limiti notevoli!
Limiti notevoli con e:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1
Esercizio 18. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{e^{-2x} -1 }{x}
Adesso vediamo dei limiti notevoli con e, che è un numero per chi non lo sapesse, ed in particolare vale 2,7…ma negli esercizi dei limiti notevoli con e lo rimaniamo così com’è.
Qui è abbastanza immediato, come fatto già tante volte e come spesso si fa nei limiti notevoli, poniamo:
-2x=y \implies x=-\frac{y}{2}
Se x tende a 0, anche y tende a 0. Sostituiamo il tutto nel limite:
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{e^y -1 }{-\frac{y}{2}} =\lim\limits_{y \to 0 } -2 \frac{e^y -1 }{y}
Abbiamo una costante moltiplicata per un limite notevole, gioco fatto!
=-2 \cdotp 1 = -2
Esercizio 19. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{e^{x+2} - e^2}{x}
L’esercizio qui è abbastanza immediato, nel senso che basta scrivere esplicitamente il primo esponenziale usando la proprietà:
a^{b+c} = a^b a^c
E quindi nel nostro caso abbiamo:
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{e^x e^2 - e^2}{x}
E poi mettiamo in evidenza e^2.
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{e^2 (e^x - 1)}{x} =
\lim\limits_{x \to 0 } e^2 \cdotp \frac{e^x - 1}{x} =e^2 \cdotp 1 = e^2
Esercizio 20. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{e^x - e^{-x} }{8x}
Aggiungiamo e sottraiamo al numeratore 1 e poi spezziamo il limite in due limiti separati in modo da far comparire il limite notevole.
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{e^x - e^{-x} +1-1}{8x}=\lim\limits_{x \to 0 } \frac{e^x -1 }{8x} + \lim\limits_{x \to 0 } -\frac{e^{-x} -1 }{8x}
Il primo limite è immediato, e fa:
=\lim\limits_{x \to 0 } \frac{1}{8} \frac{e^x -1 }{x} = \frac{1}{8}
Per il secondo limite invece, poniamo -x=y. Per x che tende a 0, anche y tende a 0. Sostituiamo nel secondo limite chiaramente solo, perchè il primo l’abbiamo già risolto.
= \lim\limits_{y \to 0 } -\frac{e^y -1 }{-8y} = \lim\limits_{y \to 0 } \frac{e^y -1 }{8y}=
= \lim\limits_{y \to 0 } \frac{1}{8} \frac{e^y -1 }{y}= \frac{1}{8}
Uniamo adesso le due soluzioni insieme ed otteniamo:
=\frac{1}{8}\frac{1}{8} +\frac{1}{8} = \frac{2}{8} =\frac{1}{4}
I limiti notevoli con e sono finiti.
Continuiamo con altri esercizi svolti limiti notevoli!
Esercizi sui limiti notevoli:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{ (1+x)^k -1 }{x} = k
Esercizio 21. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1+x} -1 }{2x}
Innanzitutto scriviamo la radice sotto forma di esponente esplicito e poi mettiamo il 2 al denominatore da parte.
\lim\limits_{x \to 0 } \frac{1}{2} \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}} -1 }{x}
Considerando che abbiamo il limite notevole \lim\limits_{x \to 0} \frac{ (1+x)^k -1 }{x} = k
dove k=\frac{1}{2} nel nostro caso allora abbiamo come risultato:
=\frac{1}{2} \cdotp \frac{1}{2}
Esercizio 22. \lim\limits_{x \to 0 } \frac{(1+2x)^5 -1 }{5x}
Quello che vogliamo è un numeratore identico al limite notevole, quindi procediamo come fatto già per tanti altri esercizi, per sostituzione:
2x=y \implies x=c
E chiaramente se x tende a 0 anche y tende a 0. Sostituiamo il tutto nel limite del nostro esercizio:
\lim\limits_{y \to 0 } \frac{(1+y)^5 -1 }{5 \frac{y}{2}} =\lim\limits_{y \to 0 } \frac{2}{5} \frac{(1+y)^5 -1 }{y}
=\frac{2}{5} 5 = 2
Gli esercizi sui limiti notevoli sono finiti.
Abbiamo concluso finalmente questa parte di esercizi!
Come risolvere i limiti notevoli
![calcolo limiti notevoli](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/10/calcolo-limiti-notevoli.png)
Se volete ancora esercitarvi di più, magari cliccate sulle forme indeterminate o sulle basi del calcolo dei limiti!
Continuate a studiare sul nostro sito dove c’è tanta roba! Supportateci!
Se volete approfondire i limiti notevoli:
https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_notevole
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