MASSIMI e MINIMI: 20 esercizi SVOLTI !
MASSIMI e MINIMI: 20 esercizi SVOLTI ! La ricerca dei massimi e minimi e punti non derivabili è uno dei punti finali dello studio di una funzione: argomento d’esame e di verifica in classe, quindi molto importante! Prima di esercitarvi su questo argomento, bisogna saper fare assolutamente le derivate ed il dominio. In questa pagina vedremo come calcolare massimi e minimi, flesso orizzontale e cosa succede se un punto non è derivabile. Iniziamo subito con l’indice!
Indice
- Massimi e minimi: esercizi
- Esercizi sul Flesso orizzontale
- Esempi Punti di non derivabilità
- Consigli generali
Iniziamo subito con massimi e minimi: esercizi svolti !
Massimi e minimi: esercizi
Funzioni generali
Esercizio 1. y=x^3 -3x^2 +1
E’ sempre utile partire dal dominio: in questo caso funzione polinomiale e quindi:
x \in \Reals
Per trovare i massimi e i minimi di una funzione si fa la derivata della funzione y e la si pone >0.
Quindi iniziamo a calcolare la derivata della funzione y:
y'=3x^2 -6x
E poniamo y’>0.
3x^2 -6x >0
Mettiamo in evidenza la x.
x(3x -6) >0
Risolviamo questa disequazione con un falso sistema.
\big\| x>0 \\ \big\| 3x-6>0
\big\| x>0 \\ \big\| x>2
Studiamo ora i segni.
Negli intervalli in cui abbiamo un segno positivo + disegniamo che la funzione è crescente, mentre negli intervalli in cui abbiamo un segno negativo – la funzione è decrescente. Quando la funzione cresce e poi decresce allora quello è un punto di massimo relativo, quando la funzione decresce e poi cresce allora esso è un punto di minimo relativo.
Quindi vedendo lo schemino, capiamo che:
x=0 massimo, x=2 minimo.
Esercizio 2. y=\frac{1}{2} e^{-x^2}
Anche qui abbiamo un esponenziale e quindi il dominio è:
x \in \Reals
Passiamo a calcolare i massimi e minimi della funzione. Calcoliamo la derivata della funzione y.
y'=-2x \cdotp \frac{1}{2} e^{-x^2} = - x e^{-x^2}
E poi poniamo y’>0.
- x e^{-x^2} >0
Essendo che l’esponenziale è sempre positivo, allora per essere il tutto >0 significa che:
-x>0 ossia che x<0.
Disegniamo i segni di questa condizione.
Esercizio 3. y=\frac{2x^2}{x-1}
Calcoliamo il dominio della funzione per prima cosa, perchè a volte come vedremo ciò si rivelerà utile.
D:x-1 \ne 0 \implies x \ne 1
Ora calcoliamo la derivata di y.
y'=\frac{4x(x-1) - 2x^2}{(x-1)^2}
y'=\frac{2x^2 -4x}{(x-1)^2} =\frac{2x(x -2)}{(x-1)^2}
E poi poniamo come sempre y’>0, come vedete è sempre lo stesso procedimento.
\frac{2x(x -2)}{(x-1)^2}>0
Risolviamo il falso sistema.
\big\| 2x(x -2) >0 \\ \big\| (x-1)^2>0
Il secondo è sempre positivo e basta che x\ne 1 e ciò lo abbiamo già nel dominio della funzione.
Il primo termine lo risolviamo con un altro falso sistema.
\big\| 2x >0 \\ \big\| x-2>0
\big\| x >0 \\ \big\| x>2
E prendiamo la parte positiva, con intervalli +.
x<0 \land x>2
E mettiamo questo nel falso sistema della derivata.
\big\| x<0 \land x>2 \\ \big\| \forall x\ne 1
Studiamo i segni, e notiamo che:
x=0 massimo, x=2 minimo.
Continuiamo con massimi e minimi: esercizi svolti !
Esercizio 4. y=\frac{-2}{\sqrt{x^2 +4}}
Studiamo prima il dominio, della radice e della frazione. Iniziamo dal dominio della radice:
\sqrt{x^2 +4 } \ge 0 \implies \forall x
E’ sempre positivo o uguale a zero perchè abbiamo un quadrato di x sommato ad un numero positivo.
Poi passiamo al dominio della frazione:
x^2 +4 \ne 0 \implies x^2 \ne -4
Ed anche questo è sempre diverso da -4, essendo x^2 positivo.
Quindi D:x \in \Reals
Passiamo finalmente a trovare massimi e minimi, facciamo la derivata.
y'=\frac{2 \cdotp \frac{2x}{2\sqrt{x^2 +4 }} }{x^2 +4}= \frac{ \frac{2x}{\sqrt{x^2 +4 }} }{x^2 +4}
= \frac{2x}{\sqrt{x^2 +4 }} \frac{1}{ x^2 +4 } = \frac{2x}{(x^2 +4 )^{\frac{3}{2} } }
= 2x (x^2 +4 )^{-\frac{3}{2}}
E poniamo questa quantità maggiore di zero.
2x (x^2 +4 )^{-\frac{3}{2}} >0
Con un falso sistema lo possiamo risolvere.
\big\| 2x >0 \\ \big\| (x^2 +4 )^{-\frac{3}{2}} >0
Il secondo è sempre positivo.
\big\| x >0 \\ \big\| \forall x
Disegniamo i segni. E ricaviamo che:
x=0 minimo.
Esercizio 5. y=\sqrt{\frac{1}{x^2 +1}}
Prima cosa…ditela voi…dominio, esatto! Abbiamo qui una funzione radice ed una fratta. Partiamo dalla radice che è immediato il dominio in questo caso.
\frac{1}{x^2 +1} \ge 0
Il numeratore è positivo, il denominatore è 1 sommato con un quadrato, quindi anch’esso positivo. L’argomento della radice è sicuramente positivo per ogni x.
Per la frazione denominatore diverso da zero:
x^2 +1 \ne 0 \implies x^2 \ne -1
Ma questo avviene sempre, perchè esso è positivo o uguale a zero, e quindi sempre diverso da -1. Quindi il dominio è:
D: x \in \Reals
Ora possiamo fare la derivata di y: non è semplicissima, quindi per non sbagliare partiamo sempre dalla funzione più esterna e poi facciamo la derivata via via di quella più interna. Quindi si parte con la derivata della radice, a cui poi si moltiplica la derivata della frazione.
y'=\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{x^2 +1}}} \cdotp \frac{-2x}{(x^2 +1)^2}
Semplifichiamo il 2 e poi scriviamo la radice nel modo seguente:
=\frac{1}{ \frac{1}{\sqrt{x^2 +1}}} \cdotp \frac{-x}{(x^2 +1)^2}
Poi portiamo il denominatore al numeratore, eliminando quindi la frazione di frazione:
= \frac{-x \sqrt{x^2 +1}}{(x^2 +1)^2}
Per la proprietà della potenza:
\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}
Scriviamo quindi:
= -x (x^2 +1 )^{-\frac{3}{2}}= -x \frac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}
Tutto questo casino è stato per mettere in maniera ordinata la derivata e quindi fare il prossimo passaggio in maniera semplice. E’ importantissimo non complicarsi la vita anche con esercizi non così difficili!
Di fatti ora y’>0 sarà un gioco da ragazzi.
-x \frac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}} >0
Il secondo termine è sempre positivo. Il primo invece no, quindi basta che sia positivo anche il primo termine, quindi:
-x>0 e quindi x<0 semplicemente, e disegnando i segni, allora notiamo facilmente che:
x=0 massimo.
Esercizio 6. y=\frac{\ln x}{x}
Abbiamo due funzioni: logaritmo e frazione. Il dominio è semplice qui, per il logaritmo abbiamo che x>0, mentre per la frazione
x \ne 0, e quindi il dominio è:
D: x>0
Calcoliamo la derivata adesso.
y'=\frac{\frac{1}{x} x - \ln x}{x^2} =\frac{1 - \ln x}{x^2}
Ora calcoliamo y’>0.
\frac{1 - \ln x}{x^2} >0
Con un falso sistema.
\big\| 1 - \ln x>0 \\ \big\| x^2 > 0
Ovviamente x^2 è sempre positivo per ogni x tranne per x=0. (Il dominio lo mettiamo alla fine).
\big\| \ln x<1 \\ \big\| \forall x \ne 0
\big\| x<e \\ \big\| \forall x \ne 0
Facciamo il grafico dei segni, e ricaviamo che
x=e massimo, nel dominio x>0. Quindi tutto ciò che sta prima non lo consideriamo nella tabella dei segni chiaramente.
Esercizio 7. y=18 \ln x - \frac{3}{4} x^2
Per quanto riguarda il dominio, dobbiamo solo considerare il dominio e quindi
D: x>0.
Facciamo la derivata della funzione.
y'=18 \frac{1}{x} - \frac{3}{4} 2x =18 \frac{1}{x} - \frac{3}{2} x
=\frac{36- 3x^2}{2x}
E poi come sempre poniamo y’>0.
\frac{36- 3x^2}{2x} >0
Lo svolgiamo con un falso sistema.
\big\| 36- 3x^2 >0 \\ \big\| 2x >0
\big\| x^2 < 12 \\ \big\| x >0
Per il primo andiamo a prendere valori interni, essendoci un minore.
\big\| -2\sqrt{3} < x < 2\sqrt{3} \\ \big\| x >0
Dallo studio dei segni notiamo che, considerando solamente x>0 che è il dominio, abbiamo solamente il punto:
di massimo relativo x=2 \sqrt{3}
Continuiamo con massimi e minimi: esercizi svolti !
Esercizi sul Flesso orizzontale
Esercizio 8. y=\frac{x^3}{x-3}
Partiamo dal dominio, che è davvero immediato qui, visto che dobbiamo solo porre il denominatore diverso da zero.
D:x-3 \ne 0 \implies x \ne 3
Ora passiamo al calcolo della derivata della funzione.
y'=\frac{3x^2 (x-3) -x^3}{(x-3)^2} = \frac{3x^3 -9x^2 -x^3 }{(x-3)^2}=
= \frac{2x^3 -9x^2 }{(x-3)^2} =\frac{x^2 (2x-9)}{(x-3)^2}
Adesso possiamo porre y’>0.
\frac{x^2 (2x-9)}{(x-3)^2} >0
Lo risolviamo con un falso sistema.
\big\| x^2 (2x-9)>0 \\ \big\| (x-3)^2>0
Il secondo termine è sempre positivo tranne in x=3 per la quale è zero.
Per quanto riguarda il membro facciamo un altro falso sistema molto veloce, ovviamente non serve, però per chi non è pratico è meglio farlo.
\big\| x^2>0 \\ \big\| (2x-9)>0
\big\| \forall x \ne 0 \\ \big\| x> \frac{9}{2}
Da cui ricaviamo semplicemente l’intervallo positivo x> \frac{9}{2} \land x \ne 0 e anche la condizione di x diverso da zero.
Sostituiamo nel primo falso sistema.
\big\| x> \frac{9}{2} \land x \ne 0 \\ \big\| \forall x \ne 3
Notiamo che x=\frac{9}{2} è un punto di minimo. Ed inoltre ricaviamo un grafico dei segni particolare, perchè come potete vedere nel punto x=3 c’è un punto di discontinuità essendo il dominio, quindi la funzione non esiste lì. Mentre in x=0 la funzione esiste, e notiamo che decresce e poi decresce ancora, e quando abbiamo una situazione di questo tipo allora x=0 è un punto di flesso orizzontale, ossia la funzione fa così:
E’ importantissimo non confondere un punto di discontinuità che non può essere un punto di flesso orizzontale, perchè la funzione non esiste lì. Mentre un punto di flesso orizzontale è un punto tale che la funzione esiste. Ed inoltre la funzione o cresce/cresce o decresce/decresce.
Fate anche il prossimo esercizio per capire meglio!
Continuiamo con altri massimi e minimi: esercizi svolti!
Esercizio 9. y=\frac{x^3}{3} -x^2 +x
Il dominio è D:x \in \Reals quindi la funzione è sempre definita e continua, non ha buchi.
Adesso troviamo la derivata.
y'=3\frac{x^2}{3} -2x +1 =x^2 -2x +1
Possiamo renderlo una forma più semplice, trovando il delta/quarti.
\frac{\Delta}{4}= 1-1=0
Adesso troviamone le due soluzioni uguali:
x_{1,2} = 1
E quindi possiamo scrivere
y=x^2 -2x +1 =(x-1)^2
Poniamo derivata y’>0.
(x-1)^2 >0
Qua come possiamo vedere abbiamo che essa è sempre maggiore di zero tranne per x=1:
\forall x \ne 1
E quindi il grafico dei segni ci porta alla seguente figura.
Quindi x=1 è un punto di flesso orizzontale, perchè la funzione esiste lì.
Esercizio 10. y=\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3
Il dominio è chiaramente x \in \Reals quindi la funzione è sempre continua.
Ora la derivata!
y'=\frac{1}{5}5x^4 + \frac{1}{3}3x^2 =x^4 + x^2
Poniamo y’>0.
x^4 + x^2 >0
E senza fare nessun calcolo capiamo bene che la somma di un quadrato ed una x alla quarta sono entrambi sempre positivi, ma fanno zero nel caso in cui x=0. Quindi ricaviamo che esso è maggiore di zero:
\forall x \ne 0
E quindi disegnando il grafico dei segni, la funzione cresce/cresce, e nel punto x=0 abbiamo un flesso orizzontale.
Esercizio 11. y=\frac{x^2 -1}{2x-2}
Calcoliamo come sempre prima il dominio, denominatore diverso da zero:
2x-2 \ne 0 \implies x \ne 1
Ora, prima di calcolare la derivata, possiamo semplificare la forma della funzione stessa. Leggete sempre per un paio di minuti la traccia prima di iniziare a scrivere!
y=\frac{x^2 -1}{2x-2}=\frac{(x-1)(x+1)}{2(x-1)}=\frac{x+1}{2}
Se ora vi state chiedendo perchè non abbiamo semplificato all’inizio, beh il dominio lo si deve calcolare sulla funzione che ci viene data, e poi solo dopo si può mettere mano.
Calcoliamo la derivata adesso.
y'=\frac{1}{2}
Poniamo y’>0.
\frac{1}{2} >0
E questo è sempre per ogni x maggiore di zero.
Quindi la funzione è crescente e basta. Non ci sono punti di minimo o massimo, e non ci sono punti di flesso orizzontale! Perchè x=1 è un punto di discontinuità, quindi non può esserci un punto di flesso!
Ricordatevi che la funzione deve esistere per essere un punto di flesso!
Continuiamo con massimi e minimi: esercizi svolti !
Flessi in funzioni goniometriche
Esercizio 12. y=4 \cos^2 x +4 \cos x -1 in [0, \pi ]
Innanzitutto la funzione è definita su tutto l’intervallo che l’esercizio ci ha dato, perchè il coseno non ha problemi di dominio. Passiamo quindi al calcolo della derivata prima di questa funzione di soli coseni.
y'=-8 \cos x \sin x - 4 \sin x
Ora possiamo passare al calcolo della y’>0:
-8 \cos x \sin x - 4 \sin x >0
Per la risoluzione, metto in evidenza il seno.
\sin x (-8 \cos x- 4) >0
E lo risolviamo con un falso sistema.
\big\| \sin x > 0 \\ \big\| -8 \cos x- 4 >0
\big\| \sin x > 0 \\ \big\| \cos x < -\frac{1}{2}
Vediamo per quali intervalli di angoli sono vere queste relazioni, disegnando una circonferenza goniometrica; inoltre ricordiamoci che il problema ci ha detto che siamo nell’intervallo [0, \pi ] . Troviamo:
\big\| 0<x<\pi \\ \big\| \frac{2}{3} \pi < x < \pi
Dove ricordiamoci che gli estremi di un intervallo derivato non vanno presi. Disegniamo quindi su uno schema di segni questo falso sistema, e prendiamo gli intervalli positivi. Abbiamo 3 punti di massimo e minimo perchè vanno presi ovviamente anche gli estremi:
x=0 punto di massimo insieme a x=\pi ;
x=\frac{2}{3} \pi punto di minimo.
Continuiamo con massimi e minimi: esercizi svolti !
Esempi Punti di non derivabilità
Cuspide
Quando c’è un punto x_0 di non derivabilità, ossia un punto non derivabile ma che appartiene al dominio della funzione: esso è un punto di cuspide, se:
\lim\limits_{x \to x_0^{\pm} } f'(x) = \pm \infin
E l’importante è che i due infiniti devono essere di segno opposto.
Esercizio 16. y=\sqrt[5]{x^2}
Come possiamo vedere la funzione è definita per ogni x, essendo l’esponente della radice dispari.
D:x \in \Reals
Mentre se calcoliamo la derivata:
y'=\frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5} } = -\frac{2}{5 \sqrt[5]{x^3}}
E come possiamo vedere il dominio della derivata implica che:
x \ne 0
che è un punto di non derivabilità, ma che appartiene comunque al dominio della funzione y.
Calcoliamo adesso i due limiti destro e sinistro del punto:
\lim\limits_{x \to 0^+ } -\frac{2}{5 \sqrt[5]{x^3}} = -\frac{2}{5 \sqrt[5]{0^+}}= - \infin
\lim\limits_{x \to 0^- } -\frac{2}{5 \sqrt[5]{x^3}} = -\frac{2}{5 \sqrt[5]{0^-}}= + \infin
E quindi deduciamo che è un punto di cuspide, di fatti la funzione in tale punto forma una cuspide.
Esercizio 17. y=\sqrt[3]{(x-1)^2}
Essendo l’esponente della radice dispari, la funzione è definita su tutto R.
D:x \in \Reals
Adesso calcoliamo y’.
y'=\frac{2}{3}(x-1)^{-\frac{1}{3}} =\frac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}
La derivata è definita per ogni x tranne con denominatore diverso da zero, quindi vi è un punto di non derivabilità in:
x \ne 1
Calcoliamo i limiti per vedere se si tratta di una cuspide.
\lim\limits_{x \to 1^+ } \frac{2}{3\sqrt[3]{x-1}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{1^+ -1}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{0^+}}= + \infin
\lim\limits_{x \to 1^- } \frac{2}{3\sqrt[3]{x-1}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{1^- -1}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{0^-}} = - \infin
E quindi x=1 è un punto di cuspide.
Punto Angoloso
Un punto angoloso x_0 è un punto di non derivabilità ma che appartiene al dominio della funzione, in cui:
\lim\limits_{x \to x_0^+ } f'(x) = h
\lim\limits_{x \to x_0^- } f'(x) = g
In cui h \ne g . Quindi i limiti devono essere diversi. Chiaramente non rientra il caso in cui uno è – infinito e l’altro è + infinito, altrimenti si parlerebbe di cuspide.
Basta che siano diversi, uno può anche essere infinito, per esempio:
h=2, g=+ \infin
Esercizio 18. y=|x|
Famosissima funzione nota per il punto angoloso è il valore assoluto di x. Essa è definita in tutto R.
D:x \in \Reals
Quando abbiamo un valore assoluto, lo scomponiamo sempre come segue:
y= \begin{cases} -x &\text{se } x<0 \\ x &\text{se } x\ge 0 \end{cases}
Ora possiamo calcolare la derivata y’.
y'= \begin{cases} -1 &\text{se } x<0 \\ 1 &\text{se } x> 0 \end{cases}
Ricordatevi che la derivata “elimina” gli estremi del dominio, perciò x=0 non si prende. x=0 è un punto di non derivabilità.
Calcoliamo i due limiti adesso:
\lim\limits_{x \to 0^+ } 1 = 1
\lim\limits_{x \to 0^- } -1 = -1
Che sono diversi, e quindi x=0 è un punto angoloso.
Esercizio 19. y=|2 \ln x | -3
Abbiamo un logaritmo, per cui il dominio è x>0.
Scriviamo la funzione come sempre quando ci sono i valori assoluti come segue:
y= \begin{cases} 2\ln x -3 &\text{se } x \ge 1 \\ -2\ln x -3 &\text{se } 0<x<1 \end{cases}
Se non vi ricordate questa scrittura: dovete pensare che la funzione dentro al logaritmo deve essere sempre positiva o uguale a zero. Nel primo caso:
2 \ln x \ge 0 \implies x \ge e^0 = 1
2 \ln x < 0 \implies 0<x<1
Lo zero perchè ricordatevi che il dominio è x>0.
Comunque ritorniamo all’esercizio, calcoliamo adesso la derivata.
y'= \begin{cases} 2\frac{1}{x} &\text{se } x > 1 \\ -2\frac{1}{x} &\text{se } 0<x<1 \end{cases}
x=1 non è più compreso, esso ora è un punto di non derivabilità.
Per cui calcoliamo i limiti e vediamo che tipo di punto è.
\lim\limits_{x \to 1^+ } 2\frac{1}{x} = 2
\lim\limits_{x \to 1^- } -2\frac{1}{x} = -2
I due limiti sono diversi, e quindi si tratta di un punto angoloso.
Flesso a tangente verticale
Un punto di non derivabilità x_0 ma che appartiene al dominio della funzione, è detto punto di flesso a tangente verticale se:
\lim\limits_{x \to x_0^+ } f '(x) = \pm \infin
\lim\limits_{x \to x_0^- } f '(x)= \pm \infin
L’importante qui è che entrambi siano uguali! Cioè entrambi – infinito o entrambi + infinito.
Esercizio 20. y=\sqrt[3]{x-1}
Essendo esponente dispari, il dominio è tutto R e non ci sono restrizioni.
D:x \in \Reals
Calcoliamo la derivata della funzione dell’esercizio.
y'=\frac{1}{3} (x-1)^{-\frac{2}{3} } =\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}
E questa è definita per ogni x \ne 1
Quindi x=1 è un punto di non derivabilità. Calcoliamo i limiti destro e sinistro e vediamo cosa succede:
\lim\limits_{x \to 1^+ } \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} =\frac{1}{3\sqrt[3]{(1^+-1)^2}}=
=\frac{1}{3\sqrt[3]{(0^+)^2}}= + \infin
\lim\limits_{x \to 1^- } \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} =\frac{1}{3\sqrt[3]{(1^- -1)^2}}=
=\frac{1}{3\sqrt[3]{(0^-)^2}}= \frac{1}{3\sqrt[3]{0^+}} = + \infin
I due limiti sono entrambi + infinito, e quindi si tratta di un punto di flesso a tangente verticale.
Consigli generali
Siamo riusciti a fare ben 20 esercizi svolti sui massimi e minimi! Il prossimo step sarà lo studio della concavità di una funzione.
Continuate a studiare con altri esercizi svolti sul nostro sito, di matematica che altro ancora!
Per approfondire: https://it.wikipedia.org/wiki/Massimo_e_minimo_di_una_funzione
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