Asintoti esercizi svolti e studio degli estremi
Asintoti esercizi svolti e studio degli estremi: 15 ESERCIZI SVOLTI. La ricerca di un asintoto è un punto fondamentale dello studio della funzione ed è argomento d’esame, insieme al dominio, allo studio del segno, massimi e minimi, e convessità. In questa pagina vedremo ben 15 esercizi SVOLTI su come si ricercano gli asintoti! Partiamo con un indice che ci divide gli argomenti.
Indice
- Tabella formule asintoti
- Esercizi Asintoti verticali
- Esercizi Asintoti orizzontali
- Esercizi Asintoti obliqui
- Trovare gli asintoti di una funzione
Partiamo subito con una tabella riassuntiva delle formule per gli asintoti!
Tabella FORMULE asintoti
![formule asintoti](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/asintoti-funzione.jpg)
Iniziamo subito con gli esercizi svolti sugli asintoti verticali!
Asintoti VERTICALI esercizi svolti
Esercizio 1. y=\frac{2x^2 - 1}{x-3}
La ricerca degli asintoti parte dal dominio e da eventuali punti di discontinuità! Quindi come prima cosa bisogna trovare il dominio della funzione. In questo caso abbiamo una funzione razionale fratta, quindi il dominio è dato da denominatore diverso da zero:
D: x-3 \ne 0 \implies x \ne 3
Questo x=3 rappresenta un punto di discontinuità per la funzione. Quello che bisogna fare dopo aver calcolato il dominio e trovato un punto di discontinuità e farne i limiti destro e sinistro della funzione e vedere cosa esce fuori. Se non sapete fare i limiti, non vi preoccupate: se vi studiate queste 3 pagine in un paio di giorni avete fatto! Ossia limiti, forme indeterminate, limiti notevoli. Ma torniamo all’esercizio!
\lim\limits_{x \to 3^-} \frac{2x^2 - 1}{x-3} = \frac{2\cdotp 9 - 1}{3^- -3} = \frac{17}{0^-} = - \infin
\lim\limits_{x \to 3^+} \frac{2x^2 - 1}{x-3} = \frac{2\cdotp 9 - 1}{3^+ -3} = \frac{17}{0^+} = + \infin
Quando i limiti tendono ad infinito per un punto di discontinuità allora abbiamo a che fare con un asintoto verticale, come possiamo vedere in tabella. Ossia la funzione tende ad una retta verticale in x=3, ed una parte va verso +infinito cioè verso l’alto mentre l’altra verso il basso, come in figura:
![asintoti verticali](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/esercizi-asintoto-verticale.jpg)
Esercizio 2. y=\frac{1}{\sin x -1}
Partiamo dal dominio come sempre! E’ fondamentale e non si può saltare questo passaggio se ve lo state chiedendo.
D:\sin x -1 \ne 0 \implies \sin x \ne 1
Il seno è diverso da 1 per tutti gli angoli, tranne in:
D:x \ne \frac{\pi}{2} + 2k \pi
Quando ci sono funzioni periodiche come in questo caso, si restringe il dominio ad un intervallo di periodo della funzione, in questo caso restringiamo lo studio ad un intervallo [0,2 \pi ] . Ma essendo che c’è un punto di discontinuità appena trovato allora il dominio si scriverà come:
D: [0,\frac{\pi}{2}[ \land ]\frac{\pi}{2},2 \pi ]
Adesso possiamo passare allo studio di questo punto di discontinuità x= \frac{\pi}{2} facendone il limite destro e sinistro.
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{\sin x -1} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2}^+ -1} = \frac{1}{1^- -1} = \frac{1}{0^-} =-\infin
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{1}{\sin x -1} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2}^+ -1} = \frac{1}{1^- -1} = \frac{1}{0^-} =-\infin
Quindi entrambi i lati della funzione tendono ad andare verso giù verso la retta x=\frac{\pi}{2}, e quindi questo punto è un punto in cui c’è un asintoto verticale.
Esercizio 3. y=\frac{4x}{1- \sqrt{x} }
Partiamo dal dominio. Abbiamo una funzione fratta ed una radice. Partiamo dalla radice che è più semplice in questo caso:
D:x \ge 0
Ora passiamo al dominio della funzione fratta.
D:1 - \sqrt{x} \ne 0 \implies \sqrt{x} \ne 1 \implies x \ne 1
Quindi unendo i due singoli domini, otteniamo il dominio di tutta la funzione che è:
D:0 \le x < 1 \land x>1
Quindi x=1 è un punto di discontinuità e quindi da studiare, e studiamo inoltre anche l’estremo x=0 della funzione, perchè anche lì può esserci un asintoto. Partiamo da x=1.
\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{4x}{1- \sqrt{x} } =\frac{4}{1- 1^+ }= \frac{4}{0^- }=- \infin
\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{4x}{1- \sqrt{x} } =\frac{4}{1- 1^- }=\frac{4}{0^+ }=+ \infin
x=1 è quindi un punto in cui c’è un asintoto verticale!
Vediamo adesso x=0, ossia l’estremo. Notiamo qui chiaramente che esiste solo il limite destro, visto il dominio!
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{4x}{1- \sqrt{x} } =\frac{0^+}{1}= 0
Qui il limite non tende ad infinito, quindi non c’è nessun asintoto.
![asintoti verticali esercizi](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/asintoti-verticali-esercizi-svolti.jpg)
Continuiamo con la ricerca degli asintoti con altri esercizi svolti!
Esercizio 4. y= \frac{\cos 2x}{1 + \sin x}
Partiamo dal dominio, qui abbiamo una funzione razionale fratta. Inoltre abbiamo un seno ed un coseno, quindi restringiamo il dominio all’intervallo [0, 2 \pi ] . Facciamo quindi il dominio della frazione:
D: 1 + \sin x \ne 0 \implies \sin x \ne -1
Nell’intervallo [0, 2 \pi ] il seno è diverso da -1 nel punto:
x \ne \frac{3}{2}\pi
Quindi il dominio della funzione possiamo scriverlo come:
D: [0, \frac{3}{2}\pi [ \land ]\frac{3}{2}\pi , 2 \pi ]
Passiamo allo studio di questo punto.
\lim\limits_{x \to \frac{3}{2}\pi ^+} \frac{\cos 2x}{1 + \sin x} = \frac{\cos 2\frac{3}{2}\pi ^+}{1 + \sin \frac{3}{2}\pi ^+} =
=\frac{-1}{1 -1^-} = \frac{-1}{0^+} = - \infin
\lim\limits_{x \to \frac{3}{2}\pi ^-} \frac{\cos 2x}{1 + \sin x} = \frac{\cos 2\frac{3}{2}\pi ^-}{1 + \sin \frac{3}{2}\pi ^-} =
=\frac{-1}{1 -1^-} = \frac{-1}{0^+} = - \infin
Questo è quindi un punto di asintoto verticale, e la funzione nei due intorni tendono entrambe a – infinito, cioè ad andare verso giù lungo la retta d’asintoto.
Esercizio 5. y=\sqrt{ \frac{x^3 -1 }{x^2 - x} }
Quindi abbiamo detto che dobbiamo partire dal dominio. Qui abbiamo una funzione radice ed una fratta. Partiamo dal dominio di quella fratta che è più semplice.
D: x^2 -x \ne 0 \implies x(x-1) \ne 0 \implies x \ne 0 \land x \ne 1
Ora passiamo al dominio della radice: argomento positivo o uguale a zero.
\frac{x^3 -1 }{x^2 - x} \ge 0
E lo risolviamo con un falso sistema.
\big\| x^3 -1 \ge 0 \\ \big\| x^2 - x > 0
\big\| x^3 \ge 1 \\ \big\| x(x-1) > 0
Il secondo termine lo risolviamo a sua volta con un altro falso sistema.
\big\| x>0 \\ \big\| x-1 > 0
\big\| x>0 \\ \big\| x > 1
Facendo la tabella dei segni e prendendo gli intervalli positivi otteniamo:
x<0 \lor x>1
E lo andiamo a sostituire nel falso sistema di prima! Un passo alla volta e si fa tutto!
\big\| x^3 \ge 1 \\ \big\| x<0 \lor x>1
\big\| x \ge 1 \\ \big\| x<0 \lor x>1
Facendo la tabella dei segni e prendendo gli intervalli positivi allora segue che:
0<x<1 \land x>1
che è anche il dominio totale della funzione!
Ora passiamo allo studio dei punti di eventuale discontinuità in x=1 ed anche all’estremo della funzione x=0. Partiamo proprio dall’estremo x=0 ! Ricordiamo però che quando si ha a che fare con un estremo esiste solamente un limite! In questo caso possiamo studiare solo il limite destro ! Questo perchè la funzione in x<0 non esiste.
\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{ \frac{x^3 -1 }{x^2 - x} } = \frac{0}{0}
Essa è una forma indeterminata, quindi mettiamo in evidenza la x e sopra utilizziamo la formula della differenza di cubi.
\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{ \frac{x^3 -1 }{x^2 - x} } =\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{ \frac{(x-1)(x^2 + x +1) }{x(x - 1)} }
=\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{ \frac{x^2 + x +1 }{x} } =\sqrt{ \frac{1 }{0^+} } = + \infin
x=0 è un punto in cui vi è un asintoto verticale!
Vediamo adesso x=1, dove in questo caso, visto il dominio, esiste sia il limite destro che sinistro. Utilizziamo sempre la formula della sottrazione dei cubi e mettiamo in evidenza come prima.
=\lim\limits_{x \to 1^+} \sqrt{ \frac{x^2 + x +1 }{x} } =\sqrt{ \frac{3 }{1^+} } = 3
=\lim\limits_{x \to 1^-} \sqrt{ \frac{x^2 + x +1 }{x} } =\sqrt{ \frac{3 }{1^-} } = 3
Quindi x=3 non è un asintoto, è semplicemente un punto di discontinuità, in cui vi è un buco nella funzione.
Continuiamo con la ricerca degli asintoti con altri esercizi svolti!
Asintoto ORIZZONTALE esercizi svolti
Esercizio 6. y=\sqrt{ \frac{x-4}{x} }
Qui c’è una funzione fratta ed una radice, calcoliamo il dominio della fratta:
x \ne 0
E poi della radice.
\frac{x-4}{x} \ge 0
Lo risolviamo con un falso sistema.
\big\| x-4 \ge 0 \\ \big\| x > 0
\big\| x \ge 4 \\ \big\| x > 0
Vedendo lo schema dei segni, e prendendo gli intervalli positivi, abbiamo che:
D:x<0 \land x \ge 4
che è anche il dominio di tutta la funzione.
Per la ricerca degli asintoti orizzontali, come potete vedere dalla formula, bisogna studiare il comportamento della funzione agli estremi. Quindi:
\lim\limits_{x \to +\infin} \sqrt{ \frac{x-4}{x} }
Questa è una forma indeterminata: per risolverla mettiamo in evidenza la x.
=\lim\limits_{x \to +\infin} \sqrt{ \frac{x(1-\frac{4}{x})}{x} } = \sqrt{ 1-\frac{4}{\infin} } = 1
Quindi y=1 è un asintoto orizzontale per quando la funzione tende verso + infinito, cioè verso destra.
\lim\limits_{x \to -\infin} \sqrt{ \frac{x-4}{x} } =1
Per l’altro infinito il procedimento è lo stesso e anche qui la funzione tende ad una retta y=1, come potete vedere dal grafico. Ora però dobbiamo anche calcolare i limiti degli altri estremi della funzione, ossia x=0 e x=4 perchè potrebbero essere asintoti verticali!
In generale per non confondersi, bisogna calcolare tutti gli estremi della funzione!
\lim\limits_{x \to 0^-} \sqrt{ \frac{x-4}{x} } = \sqrt{\frac{-4}{0^-}} = + \infin
E quindi x=0 come detto negli esercizi precedenti rappresenta un asintoto verticale. Notate che abbiamo calcolato solo il limite sinistro, perchè per via del dominio non esiste il limite destro.
Mentre x=4 non è nulla, di fatti:
\lim\limits_{x \to 4^+} \sqrt{ \frac{x-4}{x} } = \sqrt{\frac{0^+}{4}} = 0
![asintoti orizzontali](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/esempi-asintoti.jpg)
Esercizio 7. y=\frac{1}{\ln x}
Abbiamo una funzione fratta ed una logaritmica, partiamo dal dominio del logaritmo:
D:x>0.
Passiamo ora al dominio della frazione:
D:\ln x \ne 0 \implies x \ne 1
nel quale abbiamo usato la formula:
\log_a b = x \implies a^x =b
Quindi il dominio di tutta la funzione è:
D:x>0 \land x \ne 1
Andiamo a studiare tutti gli estremi della funzione. Partiamo da x=0: chiaramente solo l’intorno destro che esiste.
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{\ln x} =\frac{1}{\ln 0^+} =\frac{1}{ -\infin} = 0
Quindi questo punto non rappresenta nulla di asintoti. Semplicemente la funzione parte da 0. Studiamo ora il punto x=1, per la quale esistono entrambi gli intorni.
\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{1}{\ln x} =\frac{1}{\ln 1^-} = \frac{1}{0^-} = - \infin
\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{1}{\ln x} =\frac{1}{\ln 1^+} = \frac{1}{0^+} = + \infin
x=1 è un punto nel quale c’è un asintoto verticale.
Passiamo ora all’estremo verso infinito per la ricerca di possibili asintoti orizzontali. Chiaramente solo + infinito, perchè la funzione non esiste a – infinito.
\lim\limits_{x \to +\infin} \frac{1}{\ln x} =\frac{1}{\ln +\infin} = \frac{1}{+\infin} = 0
Quindi y=0 è un asintoto orizzontale.
Ricordiamo che se avete difficoltà nei limiti vi consiglio di vedere (in un paio di giorni capite tutto): limiti base, forme indeterminate, limiti notevoli.
Continuiamo con la ricerca degli asintoti con altri esercizi svolti!
Esercizio 8. y=\frac{2 e^{-x} }{x}
Partiamo dal dominio come sempre. Abbiamo una funzione fratta (l’esponenziale non dà problemi di dominio), quindi:
D:x \ne 0
Per capire meglio, il dominio lo possiamo anche rappresentare nella forma equivalente come:
D:]-\infin , 0[ \land ]0, + \infin [
Partiamo dallo studio del punto x=0 di discontinuità.
\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{2 e^{-x} }{x} =\frac{2 e^{-0} }{0^-} =\frac{2 }{0^-} = -\infin
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{2 e^{-x} }{x} =\frac{2 e^{-0} }{0^+} = \frac{2 }{0^+} = + \infin
x=0 è un punto di asintoto verticale. Ora passiamo ai due estremi infinito della funzione.
\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{2 e^{-x} }{x} =\frac{2 e^{+\infin} }{-\infin}
Questa è una forma indeterminata, e riscriviamo il limite come:
=\lim\limits_{x \to - \infin } 2 (\frac{x }{e^x} )^{-1} =2 ( \frac{-\infin }{e^{-\infin}} )^{-1} =2 ( \frac{-\infin }{0} )^{-1}
= 2 ( -\infin )^{-1} = 2 \frac{1}{-\infin } = 0
\lim\limits_{x \to + \infin } \frac{2 e^{-x} }{x} =\frac{2 e^{-\infin} }{+\infin} =\frac{0 }{+\infin} =0
Quindi y=0 è un asintoto orizzontale per entrambi gli estremi!
Esercizio 9. y= \frac{1}{1-x^2}
Come prima cosa calcoliamo il dominio di questa funzione fratta.
D:1- x^2 \ne 0 \implies x^2 \ne 1 \implies x \ne \pm 1
Partiamo questa volta dagli estremi della funzione ad infinito (potete partire e fare come volete, è uguale):
\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(-\infin)^2} =\frac{1}{-\infin} =0
\lim\limits_{x \to + \infin } \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(+\infin)^2}=\frac{1}{-\infin}=0
y=0 rappresenta un asintoto orizzontale per entrambi gli estremi. Ora passiamo allo studio del punto x=-1
\lim\limits_{x \to -1^- } \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(-1^-)^2} =\frac{1}{1-1^-} =\frac{1}{0^+} =+\infin
\lim\limits_{x \to -1^+ } \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(-1^+)^2} =\frac{1}{1 -1^-} =\frac{1}{0^+} = +\infin
x=-1 è un punto di asintoto verticale, adesso passiamo ad x=1:
\lim\limits_{x \to 1^- } \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(1^-)^2} =\frac{1}{1-1^-} =\frac{1}{0^+} =+\infin
\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(1^+)^2} =\frac{1}{1-1^-} =\frac{1}{0^+} =+\infin
Anche x=1 è un punto di asintoto verticale! Di fatti la funzione si comporta come segue.
![asintoti orizzontali esercizi](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/asintoti-orizzontali.jpg)
Esercizio 10. y=\arctg (1+ x^2)
Partiamo dal dominio dell’arcotangente. Ricordiamo che tale funzione è definita per tutto R, quindi non ci sono problemi di dominio.
Essa è quindi definita in ]-\infin,+\infin[
Qui dobbiamo studiare solamente gli estremi della funzione, quindi:
\lim\limits_{x \to - \infin } \arctg (1+ x^2) =\arctg (1+ (-\infin)^2) =\arctg (1+ \infin) =\frac{\pi}{2}
\lim\limits_{x \to + \infin } \arctg (1+ x^2) = \arctg (1+ (+\infin)^2) =\arctg (1+\infin) =\frac{\pi}{2}
visto il comportamento dell’arcotangente. Abbiamo quindi che y=\frac{\pi}{2} rappresenta un asintoto orizzontale per la funzione.
Continuiamo con la ricerca degli asintoti con altri esercizi svolti!
Asintoti OBLIQUI esercizi svolti
Esercizio 11. y=\frac{2x^2 -1}{x+1}
Partiamo anche in questo caso e come sempre col dominio:
D:x+1 \ne 0 \implies x \ne -1
Studiamo il punto x=-1 che potrebbe rappresentare un asintoto verticale.
\lim\limits_{x \to -1^-} \frac{2x^2 -1}{x+1} = \frac{2 -1}{0^+} =+\infin
\lim\limits_{x \to -1^+ } \frac{2x^2 -1}{x+1} = \frac{2x^2 -1}{0^-} =-\infin
x=-1 rappresenta un punto di asintoto verticale, ma questo lo sappiamo già fare. Ora studiamo gli estremi:
\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{2x^2 -1}{x+1} = \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x^2(2 -\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})}
=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x(2 -\frac{1}{x^2})}{1+\frac{1}{x}} = \frac{-2 \infin}{1} = -\infin
E facciamo lo stesso per quell’altro limite:
\lim\limits_{x \to + \infin } \frac{2x^2 -1}{x+1} =\lim\limits_{x \to + \infin } \frac{x^2(2 -\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})}
=\lim\limits_{x \to + \infin } \frac{x(2 -\frac{1}{x^2})}{1+\frac{1}{x}} = \frac{+2 \infin}{1} = +\infin
In questo caso, se per la funzione che tende ad infinito il limite fa infinito, potrebbero esistere asintoti obliqui se esistono finiti:
m=\lim\limits_{x \to \pm \infin } \frac{f(x)}{x} e q=\lim\limits_{x \to \pm \infin } (f(x)-mx)
E quindi avremo che l’asintoto obliquo sarà la retta y=mx +q. Facciamo un passo alla volta, partiamo dal – infinito.
m=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{2x^2 -1}{x^2+x} = \frac{x^2 (2-\frac{1}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x})} = 2
q=\lim\limits_{x \to - \infin } (\frac{2x^2 -1}{x+1}-2x)=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{2x^2 -1 -2x(x+1)}{x+1}=
=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{2x^2 -1 -2x^2 -2x}{x+1}= \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{ -1 -2x}{x+1}=
= \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{ x(-2-\frac{1}{x})}{x(1+\frac{1}{x})}=-2
Quindi la funzione tende verso – infinito lungo un asintoto obliquo di equazione y=2x -2. Facendo i calcoli viene la stessa retta anche per +infinito.
![asintoti obliqui](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/asintoti-obliqui-esercizi.jpg)
Esercizio 13. y=\frac{4-x^3}{2x^2 -1}
Partiamo dal dominio della frazione.
D:2x^2 -1 \ne 0 \implies x^2 \ne \frac{1}{2} \implies x \ne \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
Questo capitolo vuol far capire come calcolare gli asintoti obliqui, quindi tralasciamo il calcolo dei possibili asintoti verticali dei punti x= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} e concentriamoci solo sugli estremi e come si calcola un asintoto obliquo.
Partiamo dall’estremo sinistro.
\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{4-x^3}{2x^2 -1} = \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x^3 (-1 +\frac{4}{x^3})}{x^2 (2 -\frac{1}{x^2})}
= \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x (-1 +\frac{4}{x^3})}{2 -\frac{1}{x^2}} = -\infin \cdotp -1 = + \infin
Vediamo se c’è un asintoto obliquo e quindi se esiste finito m e q. Partiamo con il coefficiente m:
m=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{4-x^3}{2x^3 -x} =\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x^3 (-1 +\frac{4}{x^3})}{x^3 (2 -\frac{1}{x^2})} =- \frac{1}{2} =
Adesso passiamo al calcolo della q.
q=\lim\limits_{x \to - \infin } (\frac{4-x^3}{2x^2 -1}+\frac{x}{2} )=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{8-2x^3 +x(2x^2 -1)}{2(2x^2 -1)}
=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{8-x}{4x^2 -2} = \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x(\frac{8}{x}-1)}{x^2 (4-\frac{2}{x^2})}=
= \frac{\frac{8}{-\infin}-1}{-\infin (4-\frac{2}{\infin})}= 0
Quindi l’asintoto obliquo per l’estremo sinistro è y=-\frac{1}{2}x
Facendo i calcoli si trova lo stesso asintoto obliquo per l’estremo destro in questo caso.
Continuiamo con la ricerca degli asintoti con altri esercizi svolti!
Esercizio 15. y=\arctg x - \frac{1}{2}x
Nessuna delle due funzioni ha problemi di dominio. La funzione è definita in tutto R.
Partiamo dall’estremo sinistro:
\lim\limits_{x \to - \infin } \arctg x - \frac{1}{2}x = \arctg (-\infin) + \infin = -\frac{\pi}{2} + \infin = + \infin
Quindi potrebbe esserci un asintoto obliquo, vediamo! Iniziamo a calcolare la m.
m=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{\arctg x - \frac{1}{2}x}{x} =\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{\arctg x }{x} - \frac{1}{2} =
=\frac{\arctg (-\infin ) }{-\infin} - \frac{1}{2} = 0 -\frac{1}{2} =- \frac{1}{2}
Adesso passiamo a calcolare la q.
q=\lim\limits_{x \to - \infin } (\arctg x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x )=\lim\limits_{x \to - \infin } \arctg x =- \frac{\pi}{2}
Quindi l’asintoto obliquo per l’estremo di sinistra è la retta y=- \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{2}
Facendo i calcoli troviamo lo stesso per l’estremo di destra e quindi li tralasciamo.
Trovare gli asintoti di una funzione negli esercizi
![regole asintoti funzione](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2022/11/formule-asintoti.png)
In questa pagina abbiamo visto come ricercare gli asintoti di una funzione con esercizi svolti, il prossimo step sarà lo studio dei massimi e minimi e le convessità. Continuate a studiare sul nostro sito, trovate centinaia di esercizi svolti di matematica che altro ancora!
Per approfondire: https://it.wikipedia.org/wiki/Asintoto
Asintoti di una funzione: esercizi svolti.
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